新教材(辅导班)高一数学寒假讲义12《6.3.5平面向量数量积的坐标表示》课时(含解析) 学案

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知识点一 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
知识点二 三个重要公式
1．平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题
向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有：
(1)求两点间的距离(求向量的模)．
(2)求两向量的夹角．
(3)证明两向量垂直．
2．解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)求出csθ，也可由坐标表示csθ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))直接求出csθ.由三角函数值csθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
(2)由于0≤θ≤π，利用csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)来判断角θ时，要注意csθ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；csθ>0也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ＝0.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.( )
(3)若两个非零向量的夹角θ满足csθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )
答案 (1)× (2)√ (3)×
2．做一做
(1)已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b的夹角θ的余弦值等于( )
A.eq \f(8,65) B．－eq \f(8,65) C.eq \f(16,65) D．－eq \f(16,65)
(2)若向量a＝(3，m)，b＝(2,1)，a·b＝0，则实数m的值为________．
(3)已知a＝(1，eq \r(3))，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
答案 (1)C (2)－6 (3)2
题型一 平面向量数量积的坐标表示
例1 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
(1)向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.
[解] (1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，
∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．
又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
∴(a·c)b＝0.
[条件探究] 若将本例改为a与b反向，b＝(1,2)，a·b＝－10，求：
(1)向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.
解 (1)∵a与b反向，且b＝(1,2)，
∴设a＝λb(λ<0)，∴a＝(λ，2λ)，
又a·b＝－10，∴λ＋4λ＝－10，
∴λ＝－2，∴a＝(－2，－4)．
(2)∵a·c＝2×(－2)＋(－1)×(－4)＝－4＋4＝0，
∴(a·c)b＝0.
数量积坐标运算的两条途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 C
解析 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
题型二 向量的模的问题
例2 (1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________；
(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：
①向量a的模；
②与a平行的单位向量的坐标；
③与a垂直的单位向量的坐标．
[解析] (1)∵a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，
∴a－b＝(2x－1,3－x)－(1－x,2x－1)＝(3x－2，4－3x)，
∴|a－b|＝eq \r(3x－22＋4－3x2)＝ eq \r(18x2－36x＋20)＝eq \r(18x－12＋2)，
∴当x＝1时，|a－b|取最小值为eq \r(2).
(2)①∵a＝eq \(AB,\s\up16(→))＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，∴|a|＝eq \r(42＋－32)＝5.
②与a平行的单位向量是±eq \f(a,|a|)＝±eq \f(1,5)(4，－3)，即坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5))).
③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，
则a·e＝4m－3n＝0，∴eq \f(m,n)＝eq \f(3,4).
又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1.
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(3,5)，,n＝－\f(4,5)，))∴e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5))).
[答案] (1)eq \r(2) (2)见解析
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝eq \r(x2＋y2).
设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )
A.eq \r(5) B.eq \r(10) C．2eq \r(5) D．10
答案 B
解析 由a⊥b，可得a·b＝0，即x－2＝0，解得x＝2，所以a＋b＝(3，－1)，
故|a＋b|＝eq \r(32＋－12)＝eq \r(10).故选B.
题型三 向量垂直的坐标表示
例3 设Oeq \(A,\s\up16(→))＝(2，－1)，Oeq \(B,\s\up16(→))＝(3,1)，Oeq \(C,\s\up16(→))＝(m,3)．
(1)当m＝2时，用Oeq \(A,\s\up16(→))和Oeq \(B,\s\up16(→))表示Oeq \(C,\s\up16(→))；
(2)若Aeq \(B,\s\up16(→))⊥Beq \(C,\s\up16(→))，求实数m的值．
[解] (1)当m＝2时，设Oeq \(C,\s\up16(→))＝xeq \(OA,\s\up16(→))＋yeq \(OB,\s\up16(→))，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝2，,－x＋y＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(7,5)，,y＝\f(8,5)，))即Oeq \(C,\s\up16(→))＝－eq \f(7,5)Oeq \(A,\s\up16(→))＋eq \f(8,5)Oeq \(B,\s\up16(→)).
(2)Aeq \(B,\s\up16(→))＝Oeq \(B,\s\up16(→))－Oeq \(A,\s\up16(→))＝(1,2)，Beq \(C,\s\up16(→))＝Oeq \(C,\s\up16(→))－Oeq \(B,\s\up16(→))＝(m－3,2)．
因为Aeq \(B,\s\up16(→))⊥Beq \(C,\s\up16(→))，所以Aeq \(B,\s\up16(→))·Beq \(C,\s\up16(→))＝0，
即1×(m－3)＋2×2＝0，解得m＝－1.
用向量数量积的坐标表示解决垂直问题
利用坐标表示是把垂直条件代数化．因此判定方法更简捷、运算更直接，体现了向量问题代数化的思想．
已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|eq \(AD,\s\up16(→))|与点D的坐标．
解 设D点坐标为(x，y)，
则eq \(AD,\s\up16(→))＝(x－2，y＋1)，eq \(BC,\s\up16(→))＝(－6，－3)，eq \(BD,\s\up16(→))＝(x－3，y－2)．
∵D在直线BC上，
即eq \(BD,\s\up16(→))与eq \(BC,\s\up16(→))共线，∴存在实数λ，使eq \(BD,\s\up16(→))＝λeq \(BC,\s\up16(→))，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3＝－6λ，,y－2＝－3λ，))
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，∴eq \(AD,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0.
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
即2x＋y－3＝0.②
由①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1.))∴D(1,1)．
∴|eq \(AD,\s\up16(→))|＝eq \r(1－22＋1＋12)＝eq \r(5)，
即|eq \(AD,\s\up16(→))|＝eq \r(5)，点D的坐标为(1,1).
题型四 平面向量的夹角问题
例4 已知△ABC顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，
(1)若c＝5，求sinA的值；
(2)若∠A是钝角，求c的取值范围．
[解] eq \(AB,\s\up16(→))＝(－3，－4)，eq \(AC,\s\up16(→))＝(c－3，－4)．
(1)若c＝5，则eq \(AC,\s\up16(→))＝(2，－4)．
∴csA＝cs〈eq \(AC,\s\up16(→))，eq \(AB,\s\up16(→))〉＝eq \f(\(AC,\s\up16(→))·\(AB,\s\up16(→)),|\(AC,\s\up16(→))||\(AB,\s\up16(→))|)＝eq \f(\r(5),5).
∵∠A是△ABC的内角，故sinA＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(2\r(5),5).
(2)若∠A为钝角，则eq \(AC,\s\up16(→))·eq \(AB,\s\up16(→))<0且eq \(AC,\s\up16(→))，eq \(AB,\s\up16(→))不反向共线．
由eq \(AC,\s\up16(→))·eq \(AB,\s\up16(→))<0，得－3(c－3)＋16<0，即c>eq \f(25,3).
显然此时eq \(AC,\s\up16(→))，eq \(AB,\s\up16(→))不共线，故当∠A为钝角时，c>eq \f(25,3).
求平面向量夹角的步骤
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)求出a·b＝x1x2＋y1y2；
(2)求出|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))，|b|＝eq \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))；
(3)代入公式：csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)(θ是a与b的夹角)．
已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
解 (1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，
∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．
设m，n的夹角为θ，
则csθ＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(－3×7＋－4×1,\r(－32＋－42)×\r(72＋12))＝eq \f(－25,25\r(2))＝－eq \f(\r(2),2).
∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(3π,4)，即m，n的夹角为eq \f(3π,4).
题型五 向量数量积的综合应用
例5 已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．
[解] (1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴eq \(AB,\s\up16(→))＝(1,1)，eq \(AD,\s\up16(→))＝(－3,3)．
则eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AD,\s\up16(→))＝1×(－3)＋1×3＝0，∴eq \(AB,\s\up16(→))⊥eq \(AD,\s\up16(→))，即AB⊥AD.
(2)∵eq \(AB,\s\up16(→))⊥eq \(AD,\s\up16(→))，四边形ABCD为矩形，∴eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \(DC,\s\up16(→)).
∵A(2,1)，B(3,2)，∴eq \(AB,\s\up16(→))＝(1,1)．
设C点的坐标为(x，y)，则eq \(DC,\s\up16(→))＝(x＋1，y－4)，
从而有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝1，,y－4＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝5，))∴点C的坐标为(0,5)．
∴eq \(AC,\s\up16(→))＝(－2,4)，|eq \(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(－22＋42)＝2eq \r(5)，
故矩形ABCD的对角线的长度为2eq \r(5).
利用向量的坐标运算解决平面图形问题，常见的题型有：
(1)求点的坐标：设出所求点的坐标，利用终点坐标与始点坐标的差得到向量的坐标，根据向量间的关系求解．
(2)证明两线段垂直：证明两线段所对应的向量的数量积为零即可．
(3)求线段的长度：求出线段所对应的向量的模即可．
已知a，b，m，n∈R，设(a2＋b2)(m2＋n2)＝(am＋bn)2，其中mn≠0，用向量方法求证：eq \f(a,m)＝eq \f(b,n).
证明 设c＝(a，b)，d＝(m，n)，
且它们的夹角为θ(0°≤θ≤180°)，
则c·d＝am＋bn，|c|2＝a2＋b2，|d|2＝m2＋n2.
∵(a2＋b2)(m2＋n2)＝(am＋bn)2，∴|c|2|d|2＝(c·d)2.
又c·d＝|c||d|csθ，
∴cs2θ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(am＋bn,\r(a2＋b2)\r(m2＋n2))))2＝1，∴cs2θ＝1.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝0°或180°，即c∥d，∴an－bm＝0.
又mn≠0，∴eq \f(a,m)＝eq \f(b,n).
1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x等于( )
A．3 B.eq \f(1,3) C．－eq \f(1,3) D．－3
答案 C
解析 3a·b＝3(2x－6x)＝－12x＝4，∴x＝－eq \f(1,3).故选C.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,9)，\f(7,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,3)，－\f(7,9))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，\f(7,9))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))
答案 D
解析 设c＝(x，y)，则c＋a＝(1＋x,2＋y)，a＋b＝(3，－1)，由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(22＋y＋3x＋1＝0，,3x－y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(7,9)，,y＝－\f(7,3)，))即c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,9)，－\f(7,3))).
3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.
答案 eq \r(5)
解析 由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝eq \r(5).
4．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则csθ＝________.
答案 eq \f(3\r(10),10)
解析 2b－a＝2b－(3,3)＝(－1,1)，
∴2b＝(－1,1)＋(3,3)＝(2,4)，∴b＝(1,2)．
csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(3，3·1，2,\r(32＋32)\r(12＋22))＝eq \f(9,3\r(10))＝eq \f(3\r(10),10).
5．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解 (1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
a－b＝(2，－4)，|a－b|＝eq \r(4＋16)＝2eq \r(5).
综上，|a－b|＝2或2eq \r(5).