2021学年第二章 数列综合与测试课后测评

这是一份2021学年第二章 数列综合与测试课后测评，共7页。试卷主要包含了2 第4课时等内容，欢迎下载使用。
 第2章   2.2   第4课时等差数列的综合应用习题课一、选择题1．四个数成等差数列，S4＝32，a2:a3＝1:3，则公差d等于(　　)A．8　　　　B．16　　　　C．4　　　　D．0[答案]　A[解析]　∵a2:a3＝1:3，∴＝，∴d＝－2a1又S4＝4a1＋d＝－8a1＝32，∴a1＝－4，∴d＝8.[点评]　可设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由S4＝32得：a＝8，由a2:a3＝1:3得：＝，∴d＝4，∴公差为2d＝8.2．等差数列{an}中，a2＝7，a9＝15，则前10项和S10等于(　　)A．100　　　B．110　　　C．120　　　D．125[答案]　B[解析]　S10＝＝＝＝110.3．(2011·桂林高二检测)已知等差数列{an}为5,4，3…，则使{an}的前n项和Sn取得最大值的n值是(　　)A．15   B．7C．8或9   D．7或8[答案]　D[解析]　∵a1＝5，d＝4－5＝－，∴an＝5＋(n－1)·(－)＝－n＋.令an＝0得n＝8，∴a7>0，a8＝0，a9<0，∴当n＝7或8时，Sn最大．4．设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是(　　)A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为Sn的最大值．[答案]　C[解析]　由S5<S6知a6>0，由S6＝S7知a7＝0，由S7>S8知a8<0，C选项S9>S5即a6＋a7＋a8＋a9>0，∴a7＋a8>0，显然错误．5．在等差数列{an}中，若S12＝8S4，且d≠0，则等于(　　)A.  B.  C．2  D.[答案]　A[解析]　∵S12＝8S4，∴12a1＋×12×11×d＝8(4a1＋×4×3×d)，即20a1＝18d，∵d≠0，∴＝＝.6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)A．63  B．45  C．36  D．27[答案]　B[解析]　解法一：∵{an}是等差数列，∴S3、S6－S3、S9－S6为等差数列．∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，∴S9－S6＝2S6－3S3＝45.解法二：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，令bn＝，则{bn}成等差数列．由题设b3＝＝3，b6＝＝6，∴b9＝2b6－b3＝9.∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝9b9－36＝45.二、填空题7．设{an}是公差为－2的等差数列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，则a3＋a6＋a9＋…a99的值为________．[答案]　－82[解析]　∵a1＋a4＋a7＋…a97＝50，公差d＝－2，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a1＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋33×2d＝50＋66×(－2)＝－82.8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.[答案]　24[解析]　{an}为等差数列，由S9＝72得S9＝＝9a5，∴a5＝8.∴a2＋a4＋a9＝3a5＝24.三、解答题9．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．[解析]　解法一：设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋d.由已知得①×10－②整理得d＝－，代入①得，a1＝，∴S110＝110a1＋d＝110×＋×  ＝110  ＝－110.故此数列的前110项之和为－110.解法二：设Sn＝an2＋bn.∵S10＝100，S100＝10，∴⇒∴Sn＝－n2＋n.∴S110＝－×1102＋×110＝－110.解法三：设等差数列的首项为a1，公差为d，则(p≠q)①－②得(p－q)a1＋d＝－(p－q)．又p≠q，∴a1＋d＝－1，∴Sp＋q＝(p＋q)a1＋d  ＝－(p＋q)，∴S110＝－110.解法四：数列S10，S20－S10，S30－S20，…S100－S90，S110－S100成等差数列，设其公差为D，前10项的和为10S10＋·D＝S100＝10⇒D＝－22，∴S110－S100＝S10＋(11－1)D＝100＋10×(－22)＝－120.∴S110＝－120＋S100＝－110.解法五：∵S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝＝.又S100－S10＝10－100＝－90，∴a1＋a110＝－2.∴S110＝＝－110.10．等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项之和最大，并求出最大值．[解析]　解法一：∵a1＝25，S17＝S9，∴17a1＋d＝9a1＋d，解得d＝－2.∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169.解法二：∵a1＝25，S17＝S9，即17a1＋d＝9a1＋d.∴d＝－2，Sn＝n2＋(a1－)n(d<0)，Sn的图象是开口向下的抛物线上一些孤立的点，∵S17＝S9，∴最高点的横坐标为＝13，代入a1，d，n的值，得S13＝169，故前13项之和最大，最大值为169.解法三：∵S17＝S9，∴a10＋a11＋a12＋……＋a17＝0，∴a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14＝0，∵a1＝25>0，∴a13>0，a14<0，所以S13最大，∵a1＝25，S17＝S9，即17a1＋d＝9a1＋d，∴d＝－2，代入a1，d，n的值，得S13＝169，故前13项之和最大，最大值为169.解法四：同方法一：解得d＝－2，∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27，由，得，解得≤n≤，又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn取得最大值，最大值为169.能力提升一、选择题1．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100＝139，则数列{an＋bn}的前100项的和为(　　)A．0　　　　　　　　　　　B．4475  C．8950   D．10 000[答案]　C[解析]　设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝40，c100＝a100＋b100＝139，{cn}是等差数列，∴前100项和S100＝＝＝8950.2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于(　　)A．36　　　　B．18　　　　C．72　　　　D．9[答案]　A[解析]　∵S3＝－6，∴a1＋a2＋a3＝－6.又S18－S15＝a16＋a17＋a18＝18，∴a1＋a2＋a3＋a16＋a17＋a18＝(a1＋a18)＋(a2＋a17)＋(a3＋a16)＝3(a1＋a18)＝12，∴a1＋a18＝4.∴S18＝＝9(a1＋a18)＝9×4＝36.二、填空题3．设{an}是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n等于________．[答案]　4[解析]　∵{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝15，∴a2＝5，又∵a1·a2·a3＝105，∴a1a3＝21，由及{an}递减可求得a1＝7，d＝－2，∴an＝9－2n，由an≥0得n≤4，∴n＝4.4．给定81个数排成如图所示的数表，若每行的9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a55＝5，则表中所有数之和为________．a11　a12　…　a19a21　a22　…　a29…　…　…　…a91　a92　…　a99[答案]　405[解析]　S＝(a11＋…＋a19)＋…＋(a91＋…＋a99)＝9(a15＋a25＋…＋a95)＝9×9×a55＝405.三、解答题5．Sn为等差数列{an}的前n项和，S′n为等差数列{bn}的前n项和，已知SnS′n＝(7n＋1)(4n＋27)，求a11b11的值．[解析]　∵a11＝，b11＝，∴＝＝＝＝＝.6．(2010·课标全国卷文)设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．[解析]　(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得，可解得.数列{an}的通项公式为an＝11－2n.(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.因为Sn＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值．7．(2010·浙江文)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．[解析]　(1)由题意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5＝－8，所以，解得a1＝7.所以S6＝－3，a1＝7.(2)因为S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9da1＋10d2＋1＝0，故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－2或d≥2.