高中数学人教版新课标B必修5第二章 数列综合与测试当堂达标检测题

第2章   2.3   第4课时

数列的综合应用

一、选择题

1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为(　　)

A.1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

[答案]　A

[解析]　由题意知a＝，b＝，c＝，故a＋b＋c＝1.

2．若Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2，则{an}是(　　)

A．等比数列，但不是等差数列

B．等差数列，但不是等比数列

C．等差数列，但也是等比数列

D．既不是等差数列，又不是等比数列

[答案]　B

[解析]　Sn＝n2，Sn－1＝(n－1)2(n≥2)，

∴an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)，

又a1＝S1＝1满足上式，∴an＝2n－1(n∈N*)

∴an＋1－an＝2(常数)

∴{an}是等差数列，但不是等比数列，故应选B.

3．(2010·福建理)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)

A．6  B．7  C．8  D．9

[答案]　A

[解析]　设等差数列的公差为d，由由a4＋a6＝－6得2a5＝－6，

∴a5＝－3.又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2，

∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，故当n＝6时Sn取最小值，故选A.

4．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝(　　)

A．7  B．8  C．15  D．16

[答案]　C

[解析]　设等比数列的公比为q，则由4a1,2a2，a3成等差数列，得4a2＝4a1＋a3，

∴4a1q＝4a1＋a1q2，又∵a1＝1，

∴q2－4q＋4＝0，q＝2.

∴S4＝＝15.

5．(2009·湖南)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　)

A．13  B．35  C．49  D．63

[答案]　C

[解析]　∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，

∴S7＝＝49.

6．在数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5(　　)

A．成等差数列   B．成等比数列

C．倒数成等差数列   D．不确定

[答案]　B

[解析]　由题意，得2a2＝a1＋a3，

a＝a2·a4，①

＝＋.②

∴a2＝，代入①得，a4＝③

③代入②得，＝＋，∴＋＝＋，

∴a＝a1a5.

二、填空题

7．实数，1，成等差数列，实数a2,1，c2成等比数列，则＝__________.

[答案]　1或－

[解析]　由条件，得

∴或，∴＝1或－.

8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.

[答案]　24

[解析]　设等差数列的首项为a1，公差为d，

则a2＋a4＋a9＝3a1＋12d，又S9＝72，

∴S9＝9a1＋×9×8×d＝9a1＋36d＝72，

∴a1＋4d＝8，

∴a2＋a4＋a9＝3(a1＋4d)＝24.

三、解答题

9．已知a、b、c、x、y、z都是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，如果，，成等差数列，求证：a，b，c成等比数列．

[解析]　设ax＝by＝cz＝p，

∴x＝logap，y＝logbp，z＝logcp，

∵，，成等差数列．∴＝＋，

即：2logpb＝logpa＋logpc.

∴b2＝ac，∵a、b、c均为正数，∴a、b、c成等比数列．

10．{an}是等差数列，且3a5＝8a12＞0.数列{bn}满足bn＝an·an＋1·an＋2(n∈N*)，{bn}的前n项和为Sn，当n多大时，Sn取得最大值？证明你的结论．

[解析]　设{an}的公差为d，则由3a5＝8a12，得3a5＝8(a5＋7d)．∴a5＝－d＞0，∴d＜0.

∴a5＋11d＝－d＋11d＝－＞0，

a5＋12d＝－d＋12d＝＜0，即a16＞0，a17＜0.

这样b1＞b2＞…b14＞0,0＞b17＞b18＞….

其中b15＝a15·a16·a17＜0，b16＝a16·a17·a18＞0.

由于a15＝a5＋10d＝－d＞0，

a18＝a5＋13d＝d＜0，

∴|a18|＞|a15|＝a15.∴b16＞|b15|＝－b15.

∴S16＝S14＋b15＋b16＞S14.

综上所述，在数列{bn}的前n项和中，前16项和S16最大．

能力提升

一、选择题

1．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝·(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是(　　)

A．5月、6月   B．6月、7月

C．7月、8月   D．8月、9月

[答案]　C

[解析]　设第n个月份的需求量超过1.5万件．则Sn－Sn－1＝(21n－n2－5)－[21(n－1)－(n－1)2－5]＞1.5，

化简整理，得n2－15n＋54＜0，即6＜n＜9.∴应选C.

2．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　)

A．n(2n－1)  B．(n＋1)2  C．n2  D．(n－1)2

[答案]　C

[解析]　由已知，得an＝2n，log2a2n－1＝2n－1，

∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.

二、填空题

3．已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则＋的值__________．

[答案]　2

[解析]　b2＝ac,2x＝a＋b,2y＝b＋c

∴＋＝＋

＝＝＝2.

4．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2　3

4　5　6

7　8　9　10

……

按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．

[答案]　

[解析]　前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个，因此第n行从左向右的第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.

三、解答题

5．已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2)．

(1)求a2、a3；

(2)证明an＝.

[解析]　(1)∵a1＝1，∴a2＝3＋1＝4，a3＝32＋4＝13.

(2)由已知an－an－1＝3n－1，故an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋3＋1＝.所以an＝.

6．(2011·重庆文)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.

[解析]　(1)设公比为q(q>0)，

∵a1＝2，a3＝a2＋4，

∴a1q2－a1q－4＝0，

即q2－q－2＝0，解得q＝2，

∴an＝2n

(2)由已知得bn＝2n－1，

∴an＋bn＝2n＋(2n－1)，

∴Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)

＝＋

＝2n＋1－2＋n2.

7．已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2，….

(1)证明：数列是等比数列；

(2)求数列的前n项和Sn.

[解析]　(1)∵an＋1＝，

∴＝＝＋·，

∴－1＝，

又a1＝，∴－1＝，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列．

(2)由(1)知－1＝·＝，

即＝＋1，∴＝＋n.

设Tn＝＋＋＋…＋，①

则Tn＝＋＋…＋＋，②

①－②得Tn＝＋＋…＋－

＝－＝1－－，

∴Tn＝2－－.又1＋2＋3＋…＋n＝.

∴数列的前n项和

Sn＝2－＋＝－.