高中数学一轮专题-平面向量的概念及其运算（练）（带答案）

平面向量的概念及其运算

1．若四边形是矩形，下列说法中不正确的是（    ）

A．与共线 B．与相等

C．与是相反向量 D．与模相等

【答案】B

【解析】

根据四边形是矩形再结合共线向量，相等向量，相反向量，向量的模的概念判断即可．

【详解】

解：四边形是矩形

且，故，答案正确；

但的方向不同，故答案错误；

且且的方向相反，故答案正确；

故选：．

2．已知正六边形，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由，结合向量的加法运算得出答案.

【详解】

如图所示，

故选：B

3．已知两非零向量，，满足，且，则（    ）

A．1 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【解析】

利用向量的垂直关系，可得，结合向量的模的运算法则化简求解即可.

【详解】

两非零向量，，满足，且，

可得，

.

故选：A.

4．已知向量，，满足，则（    ）

A．＝＋

B．＝－－

C．与同向

D．与同向

【答案】D

【解析】

利用向量加法的意义，判断与同向.

【详解】

由向量加法的定义＝＋，故A、B错误

由，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以与同向．故D正确，C错误.

故选：D.

5．若均为非零向量，则“”是“与共线”的（    ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

根据向量数量积和向量共线的定义可得选项．

【详解】

解：，所以与的夹角为，　

所以与共线，反之不成立，因为当与共线反向时，．

所以“”是“与共线”的充分不必要条件，

故选：A．

6．下列关于向量的命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】C

【解析】

利用平面向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解．

【详解】

选项A，向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出，即该选项错误；

选项B，长度相等,向量可能不平行，该选项错误；

选项C，显然可得出，该选项正确；

选项D，得不出，比如不共线，且，该选项错误.

故选：C.

7．设，为非零向量，则“∥”是“与方向相同”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

根据向量共线性质判断即可.

【详解】

因为，为非零向量，所以∥时，与方向相同或相反，

因此“∥”是“与方向相同”的必要而不充分条件．

故选：B．

8．下列说法正确的是（    ）

A．，则

B．起点相同的两个非零向量不平行

C．若，则与必共线

D．若则与的方向相同或相反

【答案】C

【解析】

对于A：当时， 不一定成立；

对于B：起点相同的两个非零向量，当他们的方向相同或相反时，这两个向量一定共线（平行）；

对于C：若，则与同向；

对于D：当，为零向量时，命题不正确.

【详解】

对于A：当时，，，但不一定成立，故A不正确；

对于B：起点相同的两个非零向量，当他们的方向相同或相反时，这两个向量一定共线（平行），故B不正确；

对于C：若，则与同向，即与必共线，故C正确；

对于D：当，为零向量时，命题不正确，故D不正确，

故选：C.

9．在中，已知点是边上靠近点A的一个三等分点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

直接利用向量加法的三角形法则即可求解.

【详解】

由题可得，

故选：D．

10．已知，，与的夹角，则（    ）

A．10 B． C． D．

【答案】B

【解析】

由平面向量数量积的定义可求解结果．

【详解】

由平面向量数量积的定义可得：．

故选：B

1．已知正方形的边长为2，点P满足，则的值为（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【解析】

利用数量积的定义和性质，即可计算结果.

【详解】

由条件可知

.

故选：C

2．若向量满足：，且与的夹角为，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

先计算出在上的投影，然后对比即可得到对应的投影向量.

【详解】

因为在上的投影为，

又因为，所以在上的投影向量为，

故选：A.

3．已知向量，若间的夹角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由，展开利用数量积公式求解即可.

【详解】

因为，间的夹角为，

所以，

又，

所以，

故选：A

4．已知正三角形的边长为2，点满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

找到两个基底，，然后用两个基底向量表示，，再通过向量的运算即可得出结果.

【详解】

∵，

，

∴

.

故选：C.

5．已知，，，若，则的最小值为（    ）

A．6 B． C．3 D．

【答案】C

【解析】

由，再平方转化为关于的关系，即可根据二次函数性质求出.

【详解】

，

则当时，取得最小值为3.

故选：C.

6．已知O是所在平面内的一定点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（    ）

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

【答案】A

【解析】

表示的是方向上的单位向量，画图象，根据图象可知点在的角平分线上，故动点必过三角形的内心.

【详解】

如图，设，，

已知均为单位向量，

故四边形为菱形，所以平分，

由

得，又与有公共点，

故三点共线，

所以点在的角平分线上，故动点的轨迹经过的内心.

故选：A.

7．已知是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（    ）

A． B．

C．与不可能垂直 D．

【答案】BCD

【解析】

因为是平面上夹角为的两个单位向量，所以设，建立直角坐标系，然后利用平面向量的坐标运算数形结合逐项分析即可.

【详解】

因为是平面上夹角为的两个单位向量，所以设，建立如图所示直角坐标系：

，由，即，

所以点在以为直径的圆上，

所以，故A错误；

，故B正确；

由图可知，与的夹角为锐角，所以与不可能垂直，故C正确；

的最大值为：，故D正确，

故选：BCD

8．设为单位向量，且，则______________.

【答案】

【解析】

整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.

【详解】

因为为单位向量，所以

所以

解得：

所以

故答案为：

9．向量，满足，，与的夹角为120°，则___________.

【答案】

【解析】

由于，然后代值求解即可

【详解】

解：因为向量，满足，，与的夹角为120°，

所以

，

故答案为：

10．已知向量满足，的夹角为，

（1）若，求的值；

（2）若，求的最小值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据数量积的定义展开计算即可求得结果；

（2）采用先平方再开根号的方法先表示出，然后根据二次函数的性质求解出的最小值.

【详解】

（1）；

（2）因为，

所以，

当时，取最小值，且最小值为.

1．在中，D是AB边上的中点，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

根据向量的加减法运算法则算出即可.

【详解】

故选：C

2.已知非零向量，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】

若，则，推不出；若，则必成立，

故“”是“”的必要不充分条件

故选：B.

3．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（    ）

A． B． C．  D．

【答案】D

【解析】

根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.

【详解】

由已知可得：.

A：因为，所以本选项不符合题意；

B：因为，所以本选项不符合题意；

C：因为，所以本选项不符合题意；

D：因为，所以本选项符合题意.

故选：D.

4．已知非零向量a，b满足=2，且（a–b）b，则a与b的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．

5．已知向量，，，_______．

【答案】

【解析】

由已知可得，展开化简后可得结果.

【详解】

由已知可得，

因此，.

故答案为：.

6．已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.

【答案】

【解析】

由题意可得：，

由向量垂直的充分必要条件可得：，

即：，解得：.

故答案为：．