精品高中数学一轮专题-平面向量的应用（讲）（带答案）试卷

这是一份精品高中数学一轮专题-平面向量的应用（讲）（带答案）试卷，共11页。

知识点1.向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下方面：
(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．
(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件： a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0) ．
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件： a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0) ．
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式 csθ＝eq \f(a·b,|a||b|) ．
(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
知识点2．向量在物理中的应用
数学中对物理背景问题主要研究下面两类：
(1)力向量
力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，__可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力__．
(2)速度向量
速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度__．
【考点分类剖析】
考点一 ：平面向量在平面几何中的应用
【典例1】已知非零向量与满足，且，则为（ ）
A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】C
【解析】
由，得，得，得，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，即，
所以为等腰直角三角形.
故选：C
【典例2】已知､为平面上的两个定点，且，该平面上的动线段的端点､，满足，，，则动线段所形成图形的面积为（ ）
A．36B．60C．72D．108
【答案】B
【解析】
根据题意建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，设，∴，；
由，得；又，∴，；∴；
∴，∴动点在直线上，且，即线段CD上，则,
则扫过的三角形的面积为，设点∵，
∴，∴，，
∴动点在直线上，且，即线段MN上，则,
∴扫过的三角形的面积为，
∴因此和为60，故选：B.
【典例3】设为所在平面上一点，且满足，若的面积为2，则面积为_______________．
【答案】3
【解析】
因为，所以，
令，则，
所以，所以为上靠近的三等分点，
因为，所以∥,所以，
所以，故答案为：3
【总结提升】
1.用平面向量解决几何问题，往往涉及平行、垂直．
2.处理几何问题有两个角度，一是注意选定基底，用相同的向量表示研究对象；二是通过建立坐标系，利用向量的坐标运算求解．
3.要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))成立，且AB与CD无公共点．
4.要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))．
5.要求一个角，如∠ABC，只要求向量eq \(BA,\s\up6(→))与向量eq \(BC,\s\up6(→))的夹角即可．
6.在解决求长度的问题时，可利用向量的数量积及模的知识，解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决．
【变式探究】
1．已知是边长为2的正三角形，点为所在平面内的一点，且，则长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，以的中点为原点，，所在直线分别为轴，
轴建立直角坐标系，即，，，
则，.
设，则，，，
所以.设，，
解得，，则，
所以长度的最小值为.
故选：B
2.若为所在平面内任意一点，且满足，则的形状为______．（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）
【答案】等腰三角形
【解析】
取中点，连接，则，
又，，
，，
；；的形状是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形.
考点二：用向量方法探究存在性问题
【典例4】在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是边AC上靠近点A的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P，使得PC⊥BM?
【答案】线段BM上不存在点P使得PC⊥BM．
【解析】
解：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，－4)．
∵点M是边AC上靠近点A的一个三等分点，
∴eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，－eq \f(4,3))，∴M(4，eq \f(8,3))，∴eq \(BM,\s\up6(→))＝(4，eq \f(8,3))．
假设在BM上存在点P使得PC⊥BM，设eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BM,\s\up6(→))，且0<λ<1，
即eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BM,\s\up6(→))＝λ(4，eq \f(8,3))＝(4λ，eq \f(8,3)λ)，∴eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝(－6,0)＋(4λ，eq \f(8,3)λ)＝(4λ－6，eq \f(8,3)λ)．
∵PC⊥BM，∴eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝0，得4(4λ－6)＋eq \f(8,3)×eq \f(8,3)λ＝0，解得λ＝eq \f(27,26)．
∵λ＝eq \f(27,26)∈/(0,1)，∴线段BM上不存在点P使得PC⊥BM．
【规律总结】
本题若用平面几何知识解非常复杂，利用共线向量则能巧妙解决，在今后解题中注意体会和应用．
【变式探究】
△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是边BC的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC．
【答案】
【解析】如图，B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，－2)．
设eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，则eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)．
又eq \(DA,\s\up6(→))＝(－1,2)，eq \(BF,\s\up6(→))⊥eq \(DA,\s\up6(→))，∴eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))＝0，∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝eq \f(2,3)．
∴eq \(BF,\s\up6(→))＝(eq \f(4,3)，eq \f(2,3))，eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))＝(eq \f(1,3)，eq \f(2,3))．又eq \(DC,\s\up6(→))＝(1,0)，∴cs∠ADB＝eq \f(\(DA,\s\up6(→))·\(DB,\s\up6(→)),|\(DA,\s\up6(→))|·|\(DB,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(5),5)，
cs∠FDC＝eq \f(\(DF,\s\up6(→))·\(DC,\s\up6(→)),|\(DF,\s\up6(→))|·|\(DC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(5),5)，又∠ADB，∠FDC∈(0，π)，∴∠ADB＝∠FDC．
考点三：平面向量在物理中的应用
【典例5】空间作用在同一点的三个力两两夹角为，大小分别为，设它们的合力为，则（ ）
A．，且与夹角余弦为
B．，且与夹角余弦为
C．，且与夹角余弦为
D．，且与夹角余弦为
【答案】C
【解析】
设三个力对应的向量分别为、、，以、、为过同一个顶点的三条棱，作平行六面体如图，再以平面为平面，为原点、为轴建立如图空间直角坐标系．分别算出点、、的坐标，运用向量的加法法则，可得，，．最后利用向量模的公式算出，并且利用向量夹角公式算出与夹角余弦，即得解.
【详解】
设向量，，
以、、为过同一个顶点的三条棱，
作平行六面体，如图所示
则可得向量，
以平面为平面，为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图所示
可得，0，，，1，，，3，
设，，，可得，解之得，，．
，，，
结合，1，，，3，，
可得，，
设与所成的角为，可得
即与所成角的余弦之值为.
故选：C．
【典例6】如图，重为的匀质球，半径为，放在墙与均匀的木板之间，端锁定并能转动，端用水平绳索拉住，板长，与墙夹角为，如果不计木板的重量，则为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？
【答案】时，有最小值．
【解析】
设木板对球的支持力为，得到，绳子的拉力为，化简得，利用三角函数的基本性质和基本不等式，即可求解.
【详解】
如图所示，设木板对球的支持力为，则，
设绳子的拉力为，又由，，
由动力矩等于阻力矩得，
所以，
当且仅当即，即时，有最小值．
【总结提升】
1.求几个力的合力，可以用几何法，通过解三角形求解，也可用向量法求解．
2．如果一个物体在力G的作用下产生位移为s，那么力F所做的功W＝|F||s|csθ，其中θ是F与s的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积．
【变式探究】
1．【多选题】在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）
A．这艘船航行速度的大小为
B．这艘船航行速度的大小为
C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
【答案】BD
【解析】
根据题意作出图示，结合向量的平行四边形法则计算出船的速度以及船的航行方向和水流方向的夹角.
【详解】
设船的实际航行速度为，水流速度为，船的航行速度为，
根据向量的平行四边形法则可知：
，
设船的航行方向和水流方向的夹角为，
所以，所以，
故选：BD.
2.两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则与大小之比为___________．
【答案】
【解析】
物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0，然后可算出答案.
【详解】
物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0
所以，所以
故答案为：新课程考试要求
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
3.正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多例）等.
考向预测
（1）以平面图形为载体，借助于平面向量研究平面几何平行、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．
（2）正弦定理或余弦定理独立命题；
（3）正弦定理与余弦定理综合命题；
（4）与三角函数的变换结合命题；
（5）考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、立体几何等结合考查.