高中数学人教版新课标A选修4-52.基本不等式教学演示课件ppt

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1.两个定理及算术平均与几何平均.
2.利用基本不等式求最值.对两个正实数x,y.(1)如果它们的和S是定值，则当且仅当____时，它们的积P取得_______.(2)如果它们的积P是定值，则当且仅当____时，它们的和S取得_______.
1.函数 的最小值是2吗?提示：函数 的最小值不是2.当x>0时,(当且仅当x=1时取等号)当x<0时,(当且仅当x=-1时取等号)显然f(x)无最小值,也无最大值.
2.若a＞1，则 的最小值是______.【解析】因为a＞1,所以a-1＞0,所以当且仅当a=2时取等号.答案：3
3.设x＞0,则函数 的最大值是_______.【解析】 当且仅当 即 时等号成立，所以答案：
1.利用 求最值的条件利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正.(2)和或积为定值.(3)各项或各因式能取得相等的值.(注：一正也可以拓展为一同号,即a,b都为正时,可求最小值;a,b都为负时,可求最大值,口诀变为“一同号、二定值、三相等”.)
2.重要不等式与基本不等式的异同
3.两个不等式定理的常见变形(1) (2)(3) (4)(5)上述不等式中等号成立的充要条件均为a=b.
类型 一 利用基本不等式比较大小 【典型例题】1.设a>0,b>0，则a2+b2与 的大小关系为_______．2.若a>b>1，试比较P，Q，R的大小关系．【解题探究】1. 之间有什么样的关系？2.题2中a>b>1的作用是什么？
探究提示：1. 故2.由a>b>1，可以得到
【解析】1.因为由a2+b2≥2ab,得2(a2+b2)≥(a+b)2,又a>0,b>0,所以当且仅当a=b时，等号成立.所以答案：
2.因为a>b>1,所以所以又 而所以即Q【拓展提升】1.巧用基本不等式比较大小要想运用基本不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合不等式成立的条件，化归的方法是把题目中给出的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换，讲究一个巧字，根据问题的具体情况把待求的数或式拆配得恰到好处，才能顺利地进行运算.
2.利用基本不等式比较代数式大小的两个注意点(1)在应用基本不等式时，一定要注意其前提条件是否满足，即a＞0,b＞0.(2)若问题中一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用基本不等式试试看.
【变式训练】已知0类型 二 利用基本不等式求最值 【典型例题】1.已知x>0，y>0，且 则x+y的最小值为______．2.当x>0时，求 的值域．
【解题探究】1.题1中，如何利用“ ”这个条件？2.题2中，对f(x)如何变形，才能利用基本不等式？探究提示：1.因为 所以2.
【解析】1.因为x>0,y>0,且所以当且仅当 即x=4,y=12时，等号成立.所以x+y的最小值为16.答案：16
2.因为x>0,所以因为 所以所以0【互动探究】若将题2中“x>0”改为“x∈R”，求f(x)的值域．【解析】当x>0时，同题2；当x<0时， 所以当且仅当x=-1时取等号.所以当x=0时，f(x)=0,所以-1≤f(x)≤1.即f(x)的值域为［-1,1］.
【拓展提升】应用基本不等式求最值的方法与步骤(1)方法：①看式子能否出现和(或积)为定值，若不出现，需对式子变形，凑出需要的定值；②看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(-1)变为同正；③利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足，则可取最值；若不满足，则可通过函数单调性或导数解决.(2)步骤.利用基本不等式求最值的一般步骤：
【变式训练】已知x,y均为正数，且x+y=4，则 的最小值为______．【解析】因为x,y均为正数，所以当且仅当 即 时取等号.又x+y=4，所以故 的最小值为答案：
类型 三 利用基本不等式证明不等式 【典型例题】1.下列不等式中，正确的是( )A.若x∈R，则B.若x∈R,则C.若x∈R，则D.若a,b为正实数，则2.已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,求证
【解题探究】1.利用基本不等式的条件是什么？2.题2中由已知条件能不能求出ab的范围？探究提示：1.利用基本不等式的条件是“一正，二定，三相等”.2.因为 当且仅当a=b时，等号成立，所以
【解析】1.选C.A.若x<0，则 而B等号取不到，因为x2+2>1；D. 2.因为a,b∈(0,+∞),且a+b=1,所以 当且仅当a=b时，等号成立，所以所以
【拓展提升】利用基本不等式证明不等式的方法与技巧(1)用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明.(2)对含条件的不等式的证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出基本不等式，切忌两次使用基本不等式用传递性证明，有时等号不能同时取到.
【变式训练】已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.【证明】因为b2+c2≥2bc,a>0,所以a(b2+c2)≥2abc, ①同理，b(c2+a2)≥2abc, ②c(a2+b2)≥2abc. ③因为a,b,c不全相等，所以①②③式中至少有一个式子取不到等号，所以a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
【易错误区】忽略等号成立的条件而致错【典例】已知 则 的最小值为_____．【解析】设t=sin x,则t∈(0,1］,所以 ①，所以 所以 在t∈(0,1］上是减函数.所以当t=1时，ymin=3.答案：3
【防范措施】基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值，必须满足“一正，二定，三相等”的条件：(1)一正：不等式成立的前提条件．(2)二定：化不等式的一边为定值．(3)三相等：必须存在取“＝”的条件，即“＝”成立．以上三点缺一不可，本例就易忽略验证等号成立的条件，而导致结果错误．
【类题试解】(2013·南京高二检测)已知则 的最大值为_______.【解析】因为 所以cs x<0,-cs x>0,所以当且仅当 时, 即 时取到等号,所以,答案：
1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )A.a2+b2>2ab B. C. D. 【解析】选D.对于A,当a=b时,有a2+b2=2ab,故A不正确;对于B,若a<0,b<0,则有 所以B也不正确;同理,C也不正确.
2.已知x,y均为正数,且满足 则xy的最大值为 ( )A. B.3 C.12 D.【解析】选B.因为x,y均为正数，所以得xy≤3，当且仅当 即 时取等号.
3.函数 的最小值是 ( )A.-3 B.3 C.4 D.-4【解析】选B.当且仅当 即x=2时等号成立.
4.已知x,y为正数,且满足2x+y=1,则 的最小值为______.【解析】因为x>0,y>0,2x+y=1,所以当且仅当 即 时取等号.所以 的最小值为答案：
5.当 时,函数 的最小值为_______.【解析】因为 所以所以当且仅当 即 时，取“=”.答案：