2020届北京市延庆区高三一模考试数学试题

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1. 已知复数是正实数，则实数的值为
A. B. C. D.
2. 已知向量，，若与方向相反，则等于（ ）
A. 1B. C. D.
3. 下列函数中最小正周期为函数是
A B. C. D.
4. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数是（ ）
A. B. C. D.
5. 某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为，则它的表面积为
A. 8B. 12C. D. 20
6. 的展开式中，的系数是
A. 160B. 80C. 50D. 10
7. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于
A. B. C. D.
8. 已知直线，平面，，，，，那么“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）
A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年
10. 已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点，且则的面积为
A. B. C. D.
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题共5小题，每小题 5 分，共 25 分
11. 已知集合,且则的取值范围是____________.
12. 经过点且与圆相切的直线的方程是____________.
13. 已知函数则____________.
14. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；
②这三天售出的商品最少有_______种.
15. 在中，是边中点.若，则的长等于________；若，则的面积等于____________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
16. 如图，四棱锥的底面是正方形，是的中点，平面，是棱上的一点，平面.
（1）求证：是的中点；
（2）求证：和所成角等于
17. 已知数列是等差数列，是的前项和，.
（1）判断是否是数列中的项，并说明理由；
（2）求的最值.从 ①；②；③中任选一个，补充在上面的问题中并作答.
18. 三个班共有名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：
（1）试估计班的学生人数；
（2）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；
（3）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.
19. 已知函数其中.
（1）当时，求曲线在原点处的切线方程；
（2）若函数在上存在最大值和最小值，求a的取值范围.
20. 已知椭圆的左焦点为且经过点分别是的右顶点和上顶点，过原点的直线与交于两点（点在第一象限），且与线段交于点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）若面积是的面积的倍，求直线的方程.
21. 在数列中，若且则称为“数列”.设为“数列”，记的前项和为
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）证明：中总有一项为或.
班
班
班