高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册1.1 数列的概念练习

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1.1  数列的概念（练习）解析一．单项选择题：（每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知数列的通项公式为，则下列结论正确的是A．不是数列中的项             B．一定是数列中的第项C．一定是数列中的第项       D．是数列中的第项或第项【答案】D【解析】令解得或．故选D．2．已知数列对于任意， 都有，若，则A．           B．           C．           D．【答案】A【解析】因为，所以，，，所以．故选B．3．如图，将石子摆成梯形形状，称石头的个数组成的数列5，9，14，20，……为“梯形数”，则此数列的第2022项与2021项的差为   A．           B．           C．           D．【答案】D【解析】由图形可知，，，，……，，所以．故选D．4．已知数列满足，，是数列的前n项和，则A．           B．          C．           D．【答案】A【解析】因为，，所以，，，……，即，所以．故选A．5．已知数列的通项，则数列中的最大项是 A．           B．          C．           D．【答案】C【解析】因为（当且仅当时等号成立），所以．故选C．6．已知数列满足，，则A．           B．          C．           D．【答案】C【解析】因为，所以，两式相除得又，，所以．所以，即，所以．故选C．二．填空题（每小题5分）7．已知数列的前项为，，，，…，若，则      ．【答案】【解析】数列，，，，…中的各项可变形为，，，，…，所以通项公式为，所以，得．8．已知数列的前项和为．若，则           ．【答案】【解析】．9．已知在数列中，，且，则           ．【答案】【解析】因为，且， 所以，所以，，……由上可知，数列是以为周期的周期数列，所以 ．10．已知在数列中，，，则           ．【答案】【解析】因为，所以，所以．11．已知数列为递增数列，，则的取值范围为           ．【答案】【解析】数列为递增数列，，所以，所以．又．所以，即的取值范围为．12．定义：为个正数，，…，的“均倒数”．若正项数列的前项的“均倒数”为，则数列的通项公式           ．【答案】【解析】因为，所以，所以，，两式相减可得，当时，，当时，也符合上式，所以．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）13．（本小题满分12分）已知二次函数 有且只有一个零点，数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）设，定义所有满足的正整数的个数，称为这个数列的变号数，求数列的变号数．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依题意，，所以或．又得，所以，所以．当时，；当时，．所以数列的通项公式为．（2）由题意得．由可知，当时，恒有．又，，，，，，即，，，所以数列的变号数为．