数学2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系同步达标检测题

2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系（练习）

一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是

A．相离         B．相切         C．相交         D．不确定

【答案】C

【解析】因为点在圆外，所以，

圆心到直线距离，所以直线与圆相交．故选C．

2．已知，圆，圆， 若直线过

点且与圆相切，则直线被圆所截得的弦长为

A．         B．        C．        D．

【答案】A  

【解析】依题意，知点在圆上，所以为切点，

所以为直线的一个法向量，故可设的方程为．

又过点，所以，即，所以的方程为．

因为圆的圆心为，半径，

所以圆心到直线的距离．

所以直线被圆所截得的弦长为．故选A．

3．已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦长的最小值为

A．         B．        C．        D．

【答案】B

【解析】圆化为，所以圆心为，半径．

当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短．

又，所以弦长的最小值为．

故选B．

4．已知圆和两点，若圆上总存

在点，使得，则实数的取值范围是

A．         B．         C．         D．

【答案】B

【解析】（解法一）因为，所以点在以为直径的圆上，

故其轨迹方程为圆．圆心为，半径．

又圆，可化为，

所以圆心，半径．

故若圆上总存在点，使得，即圆与圆有公共点．

所以，即，解得．故选B．

（解法二）圆的圆心，半径，

设，因为，所以，

所以，所以．

又，，

所以，即．故选B．

5．已知圆与圆交于，两点，则

A．         B．         C．         D．

【答案】D

【解析】将两圆的方程相减可得两圆公共弦所在的直线的方程为，

圆心到直线的距离为，

所以．故选D．

6．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离．当

变化时，的最大值为

A．1              B．2                 C．3                  D．4

【答案】C

【解析】因为，所以是以原点为圆心以为半径的圆上一点，

又直线过定点，所以点到直线的距离的最大值为，

所以的最大值为．故选C．

二、填空题

7．设直线与圆相交于，两点，若，

则实数的值为             ．

【答案】

【解析】圆的方程可化为，

即圆心为，半径．

由，可得圆心到直线的距离为．

因为，所以则，所以．

8．已知实数满足方程，则的最大值为           ．

【答案】

【解析】（解法一）因为的几何意义是表示圆上的动点与定点连线的斜率，由图可知：．即的最大值为．

（解法二）因为的几何意义是表示圆上的动点与定点连线的斜率，设，即，

所以圆心到的距离小于或等于圆的半径，

即，解得．即的最大值为．

（解法三）因为的几何意义是表示圆上的动点与定点连线的斜率，设，即，

由，消去，得．

令，解得．即的最大值为．

9．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则

面积的取值范围为           ．

【答案】

【解析】由直线易知，，故，

圆的圆心到直线的距离为，，

所以点到直线的距离的取值范围为，

即，所以．

10．设直线，圆，，若直线与，

都相切，则          ；         ．

【答案】；．

【解析】由题意可知直线是圆和圆的公切线，因为，切线如图所示，

由对称性可知直线必过点，即 ①

并且，②  由①②解得：，．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

11．已知过点且斜率为的直线与圆C：交于两点．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）若，其中为坐标原点，求．

【答案】；．

【解析】（Ⅰ）由题设，可知直线的方程为．

因为与C交于两点，所以，即，解得．

所以的取值范围为．

（Ⅱ）设．

将代入方程，整理得，

所以，．

所以，

解得，所以的方程为．故圆心在直线上，所以．

12．已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点．

(1)求的轨迹方程；

(2)当时，求的方程及的面积．

【答案】；．

【解析】（（I）圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为，

设，则，，

由题设知，故，即．

由于点在圆C的内部，所以的轨迹方程是．    

（II）由（1）可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．

由于，故在线段的垂直平分线上，又在圆上，从而．

因为的斜率为，所以的斜率为，故的方程为．

因为到的距离，，

所以，

所以的面积为．