高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.3 抛物线课后作业题

3．3 抛物线（练习）解析

一．单项选择题：（每小题5分，共6小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的．）

1．若抛物线的焦点与双曲线的上焦点重合，则

A．            B．            C．            D．

【答案】C

【解析】因为双曲线半焦距，即双曲线的上焦点为，

所以抛物线的焦点为，所以，即．故选C．

2．抛物线的焦点为，是抛物线上一点，，则   

A．               B．             C．              D．   

【答案】D

【解析】因为抛物线的准线方程为， 所以，

解得．故选D．

3．已知抛物线上有一条长为的动弦，则的中点到轴的最短距离为

A．            B．            C．            D．

【答案】A

【解析】抛物线的准线方程为．

如图，设中点为，作垂直准线于点，

则点到准线的距离为．

因为，

所以中点为到轴的最短距离为．故选A．

4．已知，为抛物线上的两点，且的中点为，则直线的

斜率为

A．            B．            C．            D．

【答案】C

【解析】已知的中点为，设，两点坐标分别为，，

则，且．

由可得，

所以．故选C．

5．已知点，分别是直线与抛物线上的动点，则的

最小值为

A．            B．            C．            D．

【答案】B

【解析】的最小值即为抛物线上的点到直线的最小距离．

设与直线平行且与抛物线相切的直线的方程为．

由，得，

令，解得．

因为直线与抛物线相离，

所以直线的方程为：，所以直线与与直线间的距离为，

即的最小值为．故选B．

6．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交

抛物线于，两点，则的面积为                

A．            B．             C．            D．

【答案】D

【解析】设，．

因为抛物线的焦点为，

所以直线的方程为：，即．

（解法一）由，消去得，，

所以，所以．

又到直线的距离，

所以的面积为．故选D．

（解法二）由 消去得，，

所以，，所以．

因此的面积为．故选D．

二．填空题（每小题5分，共6小题．）

7．设坐标原点为，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，，若

，则          ．

【答案】

【解析】因为抛物线的焦点为，准线方程为．

由抛物线定义，得，所以．又直线过

所以直线的方程为，所以．

8．点是抛物线上一动点，若点，记点到直线的距离为， 

则的最小值为          ．

【答案】

【解析】因为抛物线的焦点为，准线方程为，

由抛物线定义可知，，所以．

9．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，

两点，且与抛物线的准线交于点．若，则_________．

【答案】

【解析】（解法一）如图，的焦点，准线交轴于点，

过点，作准线的垂线，垂足分别为，．

因为，所以，所以，

因为，所以，所以．

又，所以，所以．

所以．

（解法二）过点，作准线的垂线，垂足分别为，．因为，

所以，所以，所以直线的倾斜角为或．

故直线的方程为，代入，可得，

所以，所以．

10．已知过抛物线的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若点，使得，则_________．                  

【答案】

【解析】抛物线的焦点为， 所以直线的方程为：

代入，消去得 ．

设， ，则，，

所以，

．

因此

，所以．

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

11．（本小题满分12分）

已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线与抛物线交于，两点，那么在轴上是否存在定点，使得当变化时，总有成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）为抛物线上一点，且，

所以到抛物线的准线的距离为，

即 ，所以．又，所以，解得，

所以抛物线的方程为．

（2）设，，

由，消去得，，

所以，．

若轴上是存在定点，使得恒成立，

则直线的斜率与直线的斜率之和恒为，

即．因此，

所以，所以，

所以，解得．

即存在点，使得当变化时，总有成立． 

12．（本小题满分12分）

在直角坐标系中，直线与轴交于点，与抛物线交于点，点关于点的对称点为，连结并延长交于点．

（1）求； 

（2）除以外，直线与是否有其它公共点？说明理由．

【答案】（1）；（2）详见解析．

【解析】（1）依题意得，，又为关于点的对称点，所以，

所以直线的斜率为，故直线方程为．

代入，可得，所以或，

即点的横坐标为，代入，可得，故．

因此为的中点,所以．

（2）直线与除以外没有其它公共点．理由如下：

直线的方程为，即，

代入，得，解得．即直线与只有一个公共点，

（或由说明直线与相切，故只有一个公共点）

所以除以外直线与没有其它公共点．