高中第4章 计数原理4.3 组合背景图课件ppt

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Retrspective Knwledge
分类加法计数原理： 如果完成一件事情有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有 N = m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 我们把分类加法计数原理简称为分类计数原理，或加法原理．
分步乘法计数原理： 如果完成一件事需要分成n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，…，第n步有mn 种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有 N = m1×m2×…×mn 种不同的方法． 我们把分步乘法计数原理简称为分步计数原理，或乘法原理．
排列： 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤ n）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
n的阶乘: n! = n(n－1)(n－2)· ··· · 3 · 2 · 1． 规定 0! = 1．
New Knwledge explre
问题1 平面上有5个不同的点A，B，C，D，E，以其中两个点为端点的线段共有多少条？
分析 以A为端点的有4条：AB，AC，AD，AE；A不是端点，以B为端点之一，有3条：BC，BD，BE；A，B都不是端点，C为端点之一，有2条：CD，CE；A，B，C都不是端点，剩下D，E为端点的线段DE；共有4＋3＋2＋1=10条．
问题2 从a，b，c，d，从4个字母中，取出3个组成一组，共有多少种不同的取法？
分析 从a，b，c，d，从4个字母中，取出3个组成一组，所有取法为 abc，abd，acd，bcd ．共有4种不同取法．
思考：上述问题1、 2与上一节的排列问题有什么共同点和不同点? 相同点都是从n个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素； 不同点是本节的两个问题与所选的元素的顺序无关，而排列问题与顺序有关．
组合： 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤ n）个不同的元素，不论次序地构成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 问题1和问题2中的每一种结果都是一个组合． 组合与排列的定义区别在于：排列要排序，组合不论次序． 因此，两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同． 如在问题1中，线段AB与线段BA是同一个组合； 在问题2中，abc与bca是同一个组合．
组合数： 从n个不同元素中取出m（m≤ n）个不同的元素，所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数， 例如，对于问题1，是求从5个不同元素中取出2个元素的组合数， 对于问题2，是求从4个不同元素中取出 3个元素的组合数，
我们可以从研究组合与排列的关系入手来分析．
上一节的问题1，以5个不同的点A，B，C，D，E中的两个点为端点
接下来我们从“先取后排”的角度分两步来解这个问题：
根据分步乘法计数原理，得到
其中n，m∈N+，并且m ≤ n，这个公式叫作组合数公式．
从10个不同元素中取出3个元素后，还剩7个元素．也就是说，从10个不同的元素中每次取出3个元素的一个组合，与剩下的7个元素的组合是一一对应的．因此，从10个不同元素中取出3个元素的组合数，与从10个不同元素中取出7个元素的组合数是相等的，
一般地，从 n 个不同元素中选取 m 个元素的组合数与从n个不同元素中选取（n－m）个元素的组合数相等，
例2 星辰中学从“十佳志愿者”的10人中选5人代表学校参加“为美丽乡村增加增光添彩”的志愿服务活动，问（1）共有多少种不同的方法？
解：由于从10人中任选5人 ，与顺序无关，所以共有 种选法．
例2 星辰中学从“十佳志愿者”的10人中选5人代表学校参加“为美丽乡村增加增光添彩”的志愿服务活动，问（2）如果从选出5人中再选定1人为组长，那么共有多少种不同的选法？
解：（方法一）从这10人中任选5人 ，并确定一人为组长，可以分为如下两步完成： 第一步，先从这10人中任选5人 ， 第二步，从选出的5人中再确定1人为组长 ， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的选法．
解：（方法二）从这10人中任选5人 ，并确定一人为组长，可以分为如下两步完成： 第一步，先从这10人中选定1人为组长 ， 第二步，从余下的9人中再选出4人 ， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的选法．
例3 从4台标清彩电和5台高清彩电中选购3台，要求至少有标清彩电与高清彩电各1台，共有多少种不同的选法?
解：（方法一）选法可分为两类： 第一类，从4台标清彩电中选1台，从5台高清彩电中选2台， 第二类，从4台标清彩电中选2台，从5台高清彩电中选1台， 根据分类加法计数原理，共有种不同的选法．
解：（方法二）“选购的3台至少有标清彩电与高清彩电各1台”的对立面为：“选购的3台都是标清彩电或都是高清彩电”． 从这9台彩电中任意选购3台， 选购的3台都是标清彩电， 选购的3台都是高清彩电，所以选购的3台至少有标清彩电与高清彩电各1台的选法，共有种不同的选法．
Expansin And Prmtin
[变式] 证明： ．
构造情景：盒子中装有n＋1个不同的球，其中n个为白球，1个为红球，从中取出m个，共有多少种不同的取法？
也可以把取球分成两类：
练习 计算： ．
组合：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤ n）个不同的元素，不论次序地构成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
1．排列与组合的区别： 排列不仅与元素有关，且与元素的排列顺序有关，组合只与元素有关，与顺序无关，要区分排列与组合，可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．2．排列与组合的联系： 组合是研究排列的第一步，即只取元素．3．排列数与组合数公式的联系： ．
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