2021学年4.1 两个计数原理课后练习题

4．1-4．3 两个计数原理与排列组合（练习）解析

一．单项选择题：（每小题5分，共6小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的．）

1．从名男生和名女生中选出人参加某个座谈会，若这人中必须既有男生又有女生，

则不同的选法共有              

A．种           B．种           C．种            D．种

【答案】A

【解析】（解法一）分成三类：1名男3名女，2名男2名女，3名男1名女，由分类加法计数原理可得共有种不同的选法．故选A．

（解法二）从这7人中选出4人有种不同的选法，选出的4人都是男生有种不同的选法，所以选出这人中既有男生又有女生共有种不同的选法．故选A．

2．甲袋子中装有个红球和个白球，乙袋子中装有个红球和个白球，若从甲、乙两

个袋子中各取出个球，则取出的个球中恰有个红球的不同取法共有

A．种           B．种           C．种           D．种

【答案】B

【解析】分成两类：取到的红球来自甲袋中（甲袋取1个红球1个白球，乙袋取2个白球），取到的红球来自乙袋中（甲袋取2个白球，乙袋取1个红球1个白球），由分类加法计数原理可得共有种不同的取法．故选B．

3．一个盒子里有个分别标有号码为，，的小球，每次取出一个，记下它的标号后再

放回盒子中，共取次，则取得小球标号最大值是的取法有

　 A．种           B．种            C．种            D．种

【答案】D

【解析】分成三类：

第一类，取到1次号码为3的小球，有种不同的取法；

第二类，取到2次号码为3的小球，有种不同的取法；

第三类，取到3次号码为3的小球，有种不同的取法；

由分类加法计数原理可得共有种不同的取法．故选D．

4．从，，，，这个奇数中选取个数字，从，，，这个偶数中选取

个数字，再将这个数字组成没有重复数字的五位数，且奇数数字与偶数数字相间排

列．这样的五位数的个数是

　 A．          B．          C．          D．

【答案】D

【解析】分成四步：第一步，先从5个奇数中取出3个有种不同的选法；第二步，从4个偶数中取出2个有种不同的选法；第三步，把3个奇数排列有种不同的排法，第四步，在3个奇数间的两个空位把2个偶数排入有种不同的排法，

由分步乘法计数原理可得这样的五位数共有个．故选D．

5．某高校将名学生分配到所中学实习，每所中学至少分配名学生，则不同的分配方案

共有

A．            B．            C．           D．

【答案】B

【解析】先将名学生分成三组：两组人，一组人，再分配给三所中学，

所以共有种分配方案．故选B．

6．某台小型晚会由个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲、乙必须排在一起，节目

丙、丁不能排在一起，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有     

A．            B．            C．            D．

【答案】C

【解析】第一步，把甲乙捆绑有种方法；第二步，把甲乙作为一个节目和除丙、丁外的另外两个节目进行排序有种排法；第三步，最后把丙、丁排入4个空位中，有种排法．由分步乘法计数原理可得共有种不同的排法．故选C．

7．某校甲、乙、丙三位同学报名参加，，，四所高校的强基计划考试，每所高

校报名人数不限，因为四所高校的考试时间相同，所以甲、乙、丙只能随机各自报考其

中一所高校，则恰有两人报考同一所高校的概率为

A．    B．       C．              D．

【答案】D

【解析】依题意，得总的基本事件数，

满足“恰有两人报考同一所高校”的基本事件数，

故所求概率，故选D．

8．小明走楼梯，该楼梯一共级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明走完这级

台阶的不同走法种数是

A．            B．            C．            D．

【答案】A

【解析】走完8级台阶可以分成以下几类：

第一类：每步都，上一级，需8步，有种方法；

第二类：有一步上二级，其余上一级，需7步，有种不同的方法；

第三类：有两步上二级，其余上一级，需6步，有种不同的方法；

第四类：有三步上二级，其余上一级，需5步，有种不同的方法；

第五类：每步都上二级，需4步，有种不同的方法．

由分类加法计数原理可得走完8级台阶共有种不同的方法．故选A．

9．如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”

（如），现从集合中任取个互不相同的数字，排成一个三位数，则这

个三位数是“凸数”的概率为

A．              B．             C．             D．

【答案】B

【解析】根据题意，要得到一个满足题意的三位“凸数”，

在的个整数中任取个不同的数组成三位数有个．

在的个整数中任取个不同的数，有种选法，

将最大的放在十位上，剩余的个数字分别放在百、个位上，有种排法，

所以从集合中任取3个互不相同的数字，组成的三位“凸数”有个．

所以则这个三位数是“凸数”的概率是．故选B．

10．从、、、、这个数字中任取个数字组成无重复数字的三位数，所有这些三

位数构成的集合记为，则下列结论错误确的是

A．集合有个元素                   B．集合中能被整除的元素有个

C．集合中能被整除的元素有个      D．集合中能被整除的元素有个

【答案】C

【解析】从、、、、这个数字中任取个数字组成无重复数字的三位数，有个，故选项A正确；能被整除，即个位数上是或，共有个，故选项B正确；能被整除，即各个位上的数的和为的倍数，有，，，三种情形，共有个，故选项C错误；能被整除，即个位数上是，共有个，故选项D正确．故选C．

二．填空题（每小题5分，共6小题．）

11．若，则__________．

【答案】或

【解析】因为，所以或，所以或．

12．甲、乙等人报名参加了，，三个项目的志愿者工作，每个项目仅需名志愿者，

每人至多参加一个项目，若甲，乙两人不能参加项目，那么共有__________种不同

的选拔的方案．

【答案】

【解析】先安排项目，可以从除了甲，乙外的4人选1人，有4种排法；再安排，项目，可以从余下的5人选2人，有种排法．所以共有种排法．

13．已知有名翻译，其中会翻译英语的有人，会翻译法语的有人．现有一项翻译任务

需要用到英语翻译和法语翻译各人，那么从这名翻译中，选出人参加这项任务共

有_________种不同的选法．

【答案】

【解析】依题意，得既会翻译英语也会翻译法语的有人，所以仅会翻译英语的有人，仅会翻译法语的有人．

所以从这6人中选出英语翻译和法语翻译各人有种不同的选法．

14．已知鞋架上有双号码不同的鞋子，从中取出只，则取出这只鞋子中恰好有只来

自同一双的不同取法有_________种．

【答案】

【解析】分三步：第一步，从5双鞋子中取出1双，有种不同的取法；第二步，再从余下的4双鞋子中取出两双，有种不同的取法；第三步，从第二步取出的两双鞋子中各取1只，有种不同的取法．

由分步乘法计数原理可得共有种不同的排法．

15．把件不同产品摆成一排．若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不

同的摆法有________种．

【答案】

【解析】产品与产品相邻的摆法有种，产品与产品相邻且产品与产品相邻的摆法有种，所以产品与产品相邻，且产品与产品不相邻的摆法有种．

16．某工程队有项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程

丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行．那么安排这

项工程的不同排法种数是________．

【答案】

【解析】把工程丙和丁看成一个工程，则共项工程．从个位置中选个安排甲乙丙丁外的项工程，有种不同的排法．剩余位置安排甲乙丙丁排法只有种．所以共有种不同的排法．

17．为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了个小队在校园

最具有代表性的个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有支小队拍摄，则不同的分

配方法有________种．

【答案】

【解析】（1）若按照进行分配有种方案；

（2）若按照进行分配有种方案；

（3）若按照进行分配有种方案；

由分类加法原理，所以共有种分配方案．

18．将字母，，，，，排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母

也互不相同，则不同的排列方法共有________．

【答案】

【解析】先把，，排入第一列，有种排法，排第二列有种排法，

所以共有种不同的排法．

19．两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有________种．

【答案】

【解析】分成三类：

第一类，三局结束比赛，有种不同的情形；

第二类，四局结束比赛，有种不同的情形；

第三类，五局结束比赛，有种不同的情形；

由分类加法计数原理可得共有种不同的情形．

20．在张奖券中有一、二、三等奖各张，其余张无奖．将这张奖券分配给个人，

每人张，不同的获奖情况有________种．   

【答案】

【解析】分成两类：

第一类，三张有奖的奖券分别分给3个人，有种不同的获奖情况；

第二类，三张有奖的奖券分别分给2个人，有种不同的获奖情况；

由分类加法计数原理可得共有种不同的获奖情况．