第六讲 指数函数与对数函数学案

第六讲 指数函数与对数函数

分数指数幂

(1)＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． (a>0，m，n∈N*，且n>1).

(2)运算性质：①aras＝ar+s， ②aras＝ar-s， ③(ar)s＝ars， ④(ab)r＝arbr，

题型一  分数指数幂的化简

例1 求下列各式的值

(1)

练1.化简(1)(x＜π，n∈N*)；       (2).

题型二   分数指数幂的简单计算问题

例2　求值：        

练1.计算 (1) ；  (2)0.00 ;   (3);   (4)(2a+1)0;   (5).

题型三    根式与分数指数幂的互化

例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（a＞0）；

练1．下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)

A．－＝(－x) (x＞0)      B.＝y(y＜0)

C．x－＝ (x＞0)      D．x－＝－(x≠0)

题型四    利用分数指数幂的运算性质化简求值

例4 计算:0.06+16-0.75+.

练1 计算:+2-2×-(0.01)0.5;     练2  化简:(a>0).

1．用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)

（1） （2）   （3） （4）

2．计算下列各式：

（1）；　　　　　　　　　　（2）．

3．×＋×－＝________.

4．已知：，，求的值.

指数函数的图象与性质

知识拓展

如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.

1．请画出和的图像．        2．请画出和的图像．

3．比较下列各式大小：

（1）；　　 （2）； （3）．

4．比较满足下列条件的的大小：

（1）；　　　　　　　　　　（2）；　

（3）；　　　　　（4）；　

对数的性质与运算法则

(1)对数的运算法则

　  如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

　　  ①loga(MN)＝logaM＋logaN；

　　  ②loga＝logaM－logaN；

　　  ③logaMn＝nlogaM (n∈R)．

(2)对数的性质

　　①＝N；　　②logaaN＝N (a>0，且a≠1)．

(3)对数的换底公式

logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．

1．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：

（1）；     （2）；     （3）；

（4）；  （5）；    （6）．

2．化简下列各式：

(1)；   (2)；   (3)；   (4)；   (5) ；

(6)；   (7)；   (8)；   (9).

对数函数的图象与性质

知识拓展

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b．由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

1．请画出和的图像．     

2．请画出和的图像．

3．比较满足下列条件的两个正数的大小：

（1）；               （2）；

（3）；    （4）；

4．求下列函数的定义域：

（1）；                    （2）

1．(2018全国Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.

2．已知函数f(x)＝则的值是(　　)

A．2 B．3 C．4 D．5

3．函数f(x)＝的大致图象为(　　)

4．(2019浙江)在同一直角坐标系中，函数y =，y=loga(x+)(a>0，且a≠1)的图象可能是(    )

5．(2019全国Ⅰ)已知，则(　　)

A． B． C． D．

6．(2019全国3)设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则(　　)

A．(log3)＞()＞() B．(log3)>()＞()

C．()＞()＞(log3) D．()＞()＞(log3)

7．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)，若f(1)＝1，求f(x)的单调区间．

1．求下列各式的值：

(1)      （2）　　　（3）   （4）       (5)  

（6）       （7）      (8) ．

2．求下列函数的定义域、值域

　(1)；    (2).    (3)

3．已知指数函数且的图象经过点，求，，的值．

4．比较下列各题中两个值的大小：

(1)，；   (2) ，；  (3) ，．

5．已知，比较下列各组数的大小：

(1)；   (2)    ；   (3)；   (4)．

6．图中的曲线是指数函数的图象，已知取四个值，则相应于曲线的依次为_______________．

7．若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．

8．函数（    ）

　　A．是奇函数，在上是减函数    B．是偶函数，在上是减函数

　　C．是奇函数，在上是增函数    D．是偶函数，在上是增函数

9．已知函数f(x)为偶函数，当时，,求当时，的解析式.

10．求函数的值域．

11．已知，求函数的最大值和最小值．

12．已知, 则的值等于（    ）.

A. 1         B. 2         C. 8         D. 12

13．计算下列各式的值：

(1)；           (2)；            (3).

14．(1)，     (2)，     (3)，     (4)

15．(1)；   (2)；   (3)；   (4).

16．图中的曲线是的图象，已知的值为，，，，则相应曲线的依次为（    ）.

A. ，，，    　　　　B. ，，，

C. ，，，    　　　　D. ，，，

17．当时,在同一坐标系中,函数的图象是（    ）.

　A               B                   C                 D

18．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（    ）.

A.  　　　　B.  2  　　　C.   　　D.  4

19．若，则a的取值范围是          

　　A.  　　B.    C.  D.或a＞1

20．比较两个对数值的大小：        ；        .

21．若，那么满足的条件是（    ）.

A.       　 B.        C.      D.

22．已知，则（）

　　A.   B.   C.      D.

23．下列各式错误的是（  ）.

A.     B.      C.     D.  .

24．下列大小关系正确的是（    ）.

A.    　　　　　 B.

C.               D.

25．a、b、c是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系　　是          

A．c＞a＞b             B．c＞b＞a  

C．a＞b＞c             D．b＞a＞c

26．指数函数的图象与对数函数

的图象有何关系？

27．如果，那么a，b的关系及范围.

28．若，则（）

　 A．  B．  C．   D．

29．若，求的关系．

1．(2019全国Ⅲ)已知，则(　　)

A．   B．    C．     D．

2．(2019浙江)在同一直角坐标系中，函数的图像可能是

A．            B．             C．               D．

3．(2019天津)已知，，，则的大小关系为(　　)

A． B． C． D．

4．(2018天津)已知，则的大小关系为(　　)

A． B． C． D．

5．(2019全国2)已知是奇函数，且当时，.若，则________．

6．(全国Ⅱ)函数的单调递增区间是(　　)

A．        B．        C． D．

7．(天津)已知奇函数在上是增函数．若，，，则的大小关系为(　　)

A． B． C． D．

8．(全国I)若，，则(　　)

A．    B．    C．           D．

1．(天津)已知定义在上的函数(为实数)为偶函数，记，，，则,的大小关系为(　　)

A． B． C． D．

2．(山东)已知函数（为常数，其中）的图象如图，则下列结论成立的是(　　)

A． B．

C． D．

3．(天津)已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间单调递增．若实数a满足，则a的取值范围是(　　)

A． B． C． D．

4．(辽宁)设函数，则满足的x的取值范围是(　　)

A．，2] B．[0，2] C．[1，+） D．[0，+）