新教材(辅导班)高一数学寒假讲义14《6.4.2余弦定理与正弦定理》课时(原卷版)学案

6.4.3　余弦定理、正弦定理

第1课时　余弦定理

知识点一　　　余弦定理

三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．

知识点二　　　余弦定理的推论

cosA＝，cosB＝，cosC＝.

知识点三　　　解三角形

(1)把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．

(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

知识点四　　　余弦定理及其推论的应用

应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知两边及其夹角解三角形，另一类是已知三边解三角形．

1．对余弦定理的理解

(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．

(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．

(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．

(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．

2．判定三角形的形状

(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想．判断三角形的形状有两条思路：

①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式．

②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式．

(2)判定三角形形状时经常用到下列结论：

①在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0°<A<90°；反之，若0°<A<90°，则a2<b2＋c2.

例如：在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，可得角A的范围是.

②在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.

③在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90°<A<180°；反之，若90°<A<180°，则a2>b2＋c2.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．(　　)

(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．(　　)

(3)已知△ABC中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．(　　)

2．做一做

(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝________.

(2)已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是________三角形．

(3)在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为________．

(4)在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则AC等于________．

题型一  已知两边及一角解三角形

例1　在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形．

已知两边及一角解三角形的两种情况

(1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解．

(2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长．

(1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是(　　)

A．8        B．2            C．6   D．2

(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，C和边a.

题型二  已知三边(三边关系)解三角形

例2　(1)在△ABC中，若a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)

A．         B．        C．         D．

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，

且最大角为120°，求此三角形的最大边长．

[条件探究]　若本例(1)中条件不变，如何求最大角的余弦值呢？

　已知三边求解三角形的方法

(1)已知三角形的三边求角时，可先利用余弦定理求解出各角的大小．

(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．

在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角．

(1)在△ABC中，(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为________；

(2)在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．

题型三  判断三角形的形状

例3　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，试确定△ABC的形状．

　利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项

(1)利用余弦定理(有时还要结合三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．

在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．

1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于(　　)

A．         B．         C．          D．

2．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于(　　)

A．1        B．          C．2           D．4

3．在△ABC中，若a＝＋1，b＝－1，c＝，则△ABC的最大角的度数为________．

4．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝，c＝1＋，且a2＝b2＋c2－2bcsinA，则边a＝________.

5．在△ABC中，b＝asinC，c＝acosB，试判断△ABC的形状．

第2课时　正弦定理

知识点　　　正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝.

利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题：

①已知任意两角与一边，求其他两边和一角．

②已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进一步求出其他的边和角．

1．深入理解正弦定理

(1)适用范围：正弦定理对任意三角形都成立．

(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．

(3)揭示规律：正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．

若A<B，则a<b.

反之，若a<b，则A<B．

(4)主要功能：实现三角形中边角关系的转化．

2．正弦定理的变形

设三角形的三边长为a，b，c，外接圆的半径为R，正弦定理有如下变形：

(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．

(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝.

(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．

(4)＝＝＝.

3．三角形解的个数的确定

已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．

(1)利用正弦定理讨论：若已知a，b，A，由正弦定理＝，得sinB＝.若sinB>1，无解；若sinB＝1，一解；若sinB<1，一解或两解．

(2)利用余弦定理讨论：已知a，b，A，由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcosA，即c2－(2bcosA)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．

4．三角形形状的判定方法

判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理、余弦定理，化边为角(如：a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝等；二是利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如：sinA＝，cosA＝等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)正弦定理只适用于锐角三角形．(　　)

(2)在△ABC中必有asinA＝bsinB．(　　)

(3)在△ABC中，若A＞B，则必有sinA＞sinB．(　　)

2．做一做

(1)已知△ABC外接圆的半径是2，∠A＝60°，则BC边长为________．

(2)在△ABC中，若a＝14，b＝7，B＝60°，则C＝________.

(3)在△ABC中，若＝，则B＝________.

(4)在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则＝________.

题型一  已知两角及一边解三角形

例1　已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c.

已知三角形的两角和任一边解三角形的基本思路

(1)当所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边．

(2)当所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．

注意：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(这时应注意角的转化，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．

(1)若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为________；

(2)已知三角形的两角分别是45°和60°，它们所夹边的长为1，则最小边的长为________．

题型二   已知两边及一边的对角解三角形

例2　根据下列条件解三角形：

(1)b＝，B＝60°，c＝1；

(2)c＝，A＝45°，a＝2.

[变式探究]　在本例(1)中若改为b＝1，c＝，其他条件不变，又如何求解？

已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法

(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．

(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角(唯一)．

(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．

(1)在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　)

A．{x|x>2}      B．{x|x<2}    C．{x|2<x<2}     D．{x|2<x<2}

(2)已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，先判断三角形是否有解，有解的作出解答．

①b＝4，c＝8，B＝30°；

②a＝7，b＝8，A＝105°.

题型三   判断三角形的形状

例3　在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．

　判断三角形形状的方法

(1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．

(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．

(3)判断三角形的形状，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．

在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，则△ABC的形状是(　　)

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

题型四   三角形解的个数的判断

例4　已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．

(1)a＝10，b＝20，A＝80°；

(2)a＝2，b＝6，A＝30°.

从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，

以已知a，b和A，解三角形为例，用几何法探究如下：

续表

(1)已知△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么解此三角形可得(　　)

A．一解        B．两解       C．无解          D．解的个数不确定

(2)满足a＝4，b＝3，A＝45°的△ABC的个数为________．

题型五  正弦定理与三角恒等变换的工具作用

例5　已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0.求A．

正弦定理在研究三角形边角关系中，可以适当地进行转变，边转化成角或角转化为边，利用三角恒等变换或解方程求解．

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC．

(1)求角C的大小；

(2)求sinA－cos的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

题型六  正、余弦定理的综合运用

例6　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.

(1)求C；

(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

　三角形面积计算的解题思路

对于此类问题，一般用公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB进行求解，可分为以下两种情况：

(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．

(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．

如图所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．

1．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2asinB，则角A等于(　　)

A．30°         B．45°         C．60°          D．75°

2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于(　　)

A．4         B．4         C．4          D．

3．在△ABC中，若sinA>sinB，则角A与角B的大小关系为(　　)

A．A>B      B．A<B         C．A≥B         D．A，B的大小关系不能确定

4．在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则B＝________.

5．在△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，且A＝60°，a＝，b＝4，那么满足条件的△ABC有几个？