新教材(辅导班)高一数学寒假讲义15《6.4.3余弦定理、正弦定理应用举例》课时(含解析)学案

第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例

知识点　　　　实际问题中的相关概念

1．基线

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．

2．仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角．如图(1)．

3．方向角

从指定方向到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图(2)．

4．方位角

指从正北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．

5．视角

观察物体的两端，视线张开的夹角，如图(3)．

1．解三角形应用题的步骤

(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．

(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形的模型．

(3)选择正弦定理或余弦定理求解．

(4)将三角形的解还原为实际问题的解，注意实际问题中的单位、近似计算要求．

2．解三角形在实际测量中的常见问题

(1)距离问题

(2)高度问题

(3)角度问题

测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要得出所求的角．

3．解决问题的策略

(1)测量高度问题策略

“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面．将空间问题转化为平面问题，利用“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思想．

(2)测量角度问题策略

测量角度问题主要指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等，解决它们的关键是根据题意和图形的有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需求哪些量，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求量．

(3)测量距离问题策略

选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)仰角与俯角都是与铅垂线所成的角．(　　)

(2)方位角的范围是(0，π)．(　　)

(3)两个不能到达的点之间无法求两点间的距离．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×

2．做一做

(1)如图所示，OA，OB的方向角分别是________．

(2)A，B两点间有一小山，选定能直接到达点A，B的点C，测得AC＝60 m，BC＝160 m，∠ACB＝60°，则A，B两点间的距离为________．

(3)身高为1.70米的李明站在离旗杆20米的地方，目测该旗杆的高度，若李明此时的仰角为30°，则该旗杆的高度约为________米(精确到0.1)．

(4)如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，测量者在A点所在的岸边选定一点C，测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________．

答案　(1)北偏东60°，北偏西30°　(2)140 m　(3)13.2

(4)20 m

题型一  两点间有一点不可到达的距离问题

例1　(1)如图，A，B两点之间隔着一座小山，现要测量A，B两点间的距离，选择在同一水平面上且均能直线到达的C点，经测量AC＝50 m，BC＝40 m，B在C北偏东45°方向上，A在C西偏北15°方向上，求AB的长；

(2)如图，某河岸的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100米．求该河段的宽度．

[解]　(1)依题意知∠ACB＝120°，AC＝50 m，BC＝40 m，应用余弦定理得

AB＝

＝

＝10，故AB的长为10 m.

(2)在△CAB中，∠ACB＝180°－75°－45°＝60°，

由正弦定理得＝，

于是BC＝＝＝(3＋)．

于是河段的宽度为d＝BCsin∠CBA＝(3＋)×＝(米)．

[条件探究]　

把本例(1)中“经测量AC＝50 m，BC＝40 m”改为“经测量∠CAB＝30°，BC＝40 m”，

又如何求A，B之间的距离？

解　解法一：∠ACB＝120°，∠CAB＝30°，

∴∠CBA＝30°，∵BC＝40 m，∴AC＝40 m.

∴AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BCcos120°＝402＋402－2×40×40×＝4800，

∴AB＝40(m)．

解法二：由正弦定理，得＝，＝，

AB＝40(m)．

　三角形中与距离有关问题的求解策略

(1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．

(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．

如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？

解　在△ABC中，BC＝30海里，B＝30°，∠ACB＝135°，

∴∠BAC＝15°，

由正弦定理＝，即＝，

AC＝＝

＝＝＝15(＋)(海里)，

∴A到直线BC的距离为d＝ACsin45°＝15(＋1)≈40.98海里>38海里，

所以继续向南航行，没有触礁危险.

题型二   两点都不能到达的两点间距离问题

例2　如图所示，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距千米的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．

[解]　在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，

∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝.

在△BDC中，∵∠CBD＝180°－45°－75°＝60°，

由正弦定理，得BC＝＝.

由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA．

∴AB2＝()2＋2－2××cos75°＝5.∴AB＝(千米)．

故两目标A，B间的距离为千米．

求距离问题的注意事项

(1)选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．

(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．

如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.

答案　900

解析　∵∠PAB＝90°，∠PAQ＝60°，∴∠BAQ＝30°，

在△ABQ中，∵∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠ABQ＝120°，又∠BAQ＝30°，

∴∠AQB＝180°－120°－30°＝30°，

由正弦定理，得＝，AQ＝900(m)．

在Rt△ABP中，解得AP＝900(m)．

∵AQ＝AP＝900(m)，又∠PAQ＝60°，∴△APQ是等边三角形，∴PQ＝900(m)，

∴P，Q两点间的距离为900 m.

题型三  测量高度问题

例3　如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD．

[解]　在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，

∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.

根据正弦定理，得＝，

即＝，∴AC＝＝.

在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsinβ＝.

即山的高度为.

(1)解决实际问题时，通常是从实际问题中抽象出一个或几个三角形，先解够条件的三角形，再利用所得结果解其他三角形．

(2)测量高度的方法

对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，由于不能直接通过解直角三角形解决，可通过构造含建筑物高度的三角形用正、余弦定理解决．

如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB．

解　在△BCD中，∵∠BCD＝α，∠BDC＝β，

∴∠CBD＝π－α－β，

由正弦定理，得＝，

∴BC＝＝，

在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝.

题型四   测量角度问题

例4　如图所示，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．

[解]　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，

则CD＝10t海里，BD＝10t海里．

在△ABC中，由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcosA＝(－1)2＋22－2(－1)×2×cos120°＝6，

∴BC＝海里．

又＝，

∴sin∠ABC＝＝＝.

∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，

∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.

在△BCD中，由正弦定理，得＝.

∴sin∠BCD＝＝＝.

∴∠BCD＝30°，

∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．

又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，

∴∠D＝30°.

∴BD＝BC，即10t＝，∴t＝小时≈15分钟．

∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．

　测量角度问题的基本思路

测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．

某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出求救信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．

解　设所需时间为t小时，在△ABC中，根据余弦定理，有AB2＝AC2＋BC2－2AC×BCcos120°，

可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10t×cos120°，

整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)．故护航舰需1小时靠近货船．

此时AB＝10，BC＝10，又AC＝10，所以∠CAB＝30°，所以护航舰航行的方位角为75°.

1．在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶A与塔底B的俯角分别是30°，60°，

则塔高AB＝(　　)

A．200 m        B． m       C． m        D．100 m

答案　C

解析　设AB＝x，则(200－x)tan60°＝200tan30°，解得x＝.

2．某次测量中，A在B的北偏东55°方向上，则B在A的(　　)

A．北偏西35°方向上   B．北偏东55°方向上

C．南偏西35°方向上   D．南偏西55°方向上

答案　D

解析　根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．已知α＝55°，则β＝α＝55°.所以B在A的南偏西55°方向上．故选D．

3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时(　　)

A．5 n mile     B．5 n mile    C．10 n mile     D．10 n mile

答案　C

解析　如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CA＝CD＝10.在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴这艘船的速度是＝10(n mile/h)．

4．如图所示，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物点C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度CD为________．

答案　60 m

解析　由三角形的内角和定理知∠ACB＝75°，即∠ABC＝∠ACB，所以AC＝AB＝120，

在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，则CD＝AC＝60(m)．

5．某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．

解　如图，在△ABP中，AB＝30×＝20，∠APB＝30°，∠BAP＝120°，

由正弦定理，得＝，即＝，解得BP＝20.

在△BPC中，BC＝30×＝40，由已知，得∠PBC＝90°，

∴PC＝＝ ＝20(海里)．

∴P，C间的距离为20海里．