高中数学1.5 函数y=Asin（ωx+ψ）教学设计

   函数y＝Asin(ωx＋)的图象教案

●教学目标

(一)知识目标

1.“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象；

2.图象变换的方法画y＝Asin(ωx＋)的图象；

3.振幅、周期、最值等.

(二)能力目标

1.会用“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象；

2.会用图象变换的方法画y＝Asin(ωx＋)的图象；

3.会求一些函数的振幅、周期、最值等.

(三)德育目标

1.数形结合思想的渗透；

2.化归思想的渗透；

3.提高数学素质.

●教学重点

1.“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象；

2.图象变换过程的理解；

3.一些相关概念.

●教学难点

多种变换的顺序

●教学方法

引导学生多思考，多体会，勤动手，勤动脑，多总结.(引导式)

●教具准备

投影片两张

第一张：课本P64，图4—26

第二张：课本P65，步骤1、2、3、4、5

●教学过程

Ⅰ.课题导入

师：同时涉及到多种变换的函数

y＝Asin(ωx＋)(其中A＞0，ω＞0，≠0)的图象又该如何得到?

［例］画出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图.

解：(五点法)

由T＝，得T＝π           令x＝2x＋

列表：

描点画图：

 (打出幻灯片§4.9.3   A)

师：这种曲线也可由图象变换得到：

即：y＝sinx                y＝sin(x＋)

y＝sin(2x＋)                  y＝3sin(2x＋)

一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：

先把正弦曲线上所有的点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变).

(打出幻灯片§4.9.3 B)

师：这一过程的步骤如图所示

师：另外，注意一些物理量的概念

A        称为振幅

T＝    称为周期

f＝     称为频率

ωx＋    称为相位

x＝0时的相位    称为初相

Ⅲ.课堂练习

生：(口答)课本P66   4

(书面练习)课本P66  1.(7)(8)(9)(10)5.

Ⅳ.课时小结

师：通过本节学习，要熟练掌握“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象，理解图象变换法作图象的过程，体会它们之间的关系.

进一步掌握三角函数的基本性质，解决一些实际问题.

Ⅴ.课后作业

(一)课本P68 2.(3)(4)3.4

(二)1.预习课本P69～P71

2.预习提纲

(1)正切函数的图象如何?

(2)正切函数有哪些性质?

●板书设计

●备课资料

1.已知函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，0＜＜2π)图象的一个最高点(2，)，由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6，0)，试求函数的解析式.

解：由已知可得函数的周期T＝4×(6－2)＝16

∴ω＝＝

又A＝

∴y＝sin(x＋)

把(2，)代入上式得：＝sin(×2＋)·

∴sin(＋)＝1，而0＜＜2π

∴＝

∴所求解析式为：y＝sin(x＋)

2.已知函数y＝Asin(ωx＋)(其中A＞0，｜｜＜）在同一周期内，当x＝时，y有最小值

－2，当x＝时，y有最大值2，求函数的解析式.

分析：由y＝Asin(ωx＋φ)的图象易知A的值，在同一周期内，最高点与最低点横坐标之间的距离即，由此可求ω的值，再将最高(或低)点坐标代入可求.

解：由题意A＝2，＝－

∴T＝π＝，∴ω＝2

∴y＝2sin(2x＋)又x＝时y＝2

∴2＝2sin(2×＋)

∴＋＝ (＜＝

∴＝

∴函数解析式为：y＝2sin(2x＋)

3.若函数y＝f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y＝sinx的图象，则有y＝f(x)是(     )

A.y＝sin(2x＋)＋1                 B.y＝sin(2x－)＋1

C.y＝sin(2x－)＋1                 D.y＝sin(x＋)＋1

解析：由题意可知

y＝f［ (x＋)］－1＝sinx

即y＝f［ (x＋)］＝sinx＋1

令 (x＋)＝ｔ，则x＝2ｔ－

∴f(ｔ)＝sin(2ｔ－)＋1

∴f(x)＝sin(2x－)＋1

答案：B

4.函数y＝3sin(2x＋)的图象，可由y＝sinx的图象经过下述哪种变换而得到 (     )

A.向右平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍

B.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍

C.向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的倍

D.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标缩小到原来的倍

答案：B

评述：由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象.

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换.

先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象.

5.由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式

对于给定函数式y＝Asin(ωx＋)，利用“五点法”作出其一个周期内的图象，同学们是较熟悉的.然而，对于这类问题的逆向问题，即给定函数y＝Asin(ωx＋)的图象而反求其函数式的问题，是同学们较少考虑但又确实存在的一种问题.

一般来说，在这类由图象求函数式的问题中，如对所求函数式中的A、ω、不加限制(如A、ω的正负，角的范围等)，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于所求函数是周期函数所致)，因此这类问题多以选择题的形式出现，我们解这类题的方法往往因题而异，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中.

［例1］已知如图是函数y＝2sin(ωx＋)(｜｜＜＝的图象，那么(     )

A.ω＝，＝

B.ω＝，＝－

C.ω＝2，＝

D.ω＝2，＝－

解析：由图可知，点(0，1)和点(，0)都是图象上的点.

将点(0，1)的坐标代入待定的函数式中，得2sin＝1，即sin＝，又｜｜＜，∴＝

又由“五点法”作图可知，点(，0)是“第五点”，所以ωx＋＝2π，即ω·π＋＝2π，解之得ω＝2，故选C.

解此题时，若能充分利用图象与函数式之间的联系，则也可用排除法来巧妙求解，即：

解：观察各选择答案可知，应有ω＞0

观察图象可看出，应有T＝＜2π，∴ω＞1

故可排除A与B

由图象还可看出，函数y＝2sin(ωx＋)的图象是由函数y＝2sinωx的图象向左移而得到的     

∴＞0，又可排除D，故选C.

答案：C

［例2］已知函数y＝Asin(ωx＋)，在同一周期内，当x＝时函数取得最大值2，当x＝时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为(     )

A.y＝2sin(3x－)             B.y＝2sin(3x＋)

C.y＝2sin(＋)             D.y＝2sin(－)

解析：由题设可知，所求函数的图象如图所示，点(，2)和点(，－2)都是图象上的点，且由“五点法”作图可知，这两点分别是“第二点”和“第四点”，所以应有：

解得

答案：B

●教学后记