精品高中数学一轮专题-立体几何中的向量方法 （讲）（带答案）学案

立体几何中的向量方法

【知识清单】

知识点1．利用空间向量证明平行问题

1.直线的方向向量与平面的法向量的确定

①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．

②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为

2.用向量证明空间中的平行关系

①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.

②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.

③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.

④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.

知识点2．利用空间向量证明垂直问题

1. 用向量证明空间中的垂直关系

  ①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.

  ②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.

  ③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.

2.共线与垂直的坐标表示

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，

a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．

知识点3．异面直线所成的角

1.两条异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．

②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是．

③向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有.

知识点4．直线与平面所成角

1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.

知识点5．二面角

1．求二面角的大小

(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．

(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．

知识点6．利用向量求空间距离

1．空间向量的坐标表示及运算

(1)数量积的坐标运算

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，

则①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；

②λa＝(λa1，λa2，λa3)；

③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.

(2)共线与垂直的坐标表示

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，

则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，

a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．

(3)模、夹角和距离公式

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，

则|a|＝＝，

cos〈a，b〉＝＝.

设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，

则.

2. 点面距的求法

如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝.

【考点分类剖析】

考点一 ：利用空间向量证明平行问题

【典例1】如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.

（1）当时，证明：直线平面.

【答案】直线平面.

【解析】以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系，

由已知得，

所以，，，

（1）证明：当时，，因为，

所以，即，

而平面，且平面，

故直线平面.

【规律方法】

利用空间向量证明平行的方法

【变式探究】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.

（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；

【解析】如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.

依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），

M（0，0，1），N（1，2，0）.

（Ⅰ）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，

则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.

因为平面BDE，所以MN//平面BDE.

【总结提升】

证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题．

考点二 ：利用空间向量证明垂直问题

【典例2】已知正方体，是棱的中点，则在棱上存在点，使得（    ）

A． B．

C．平面 D．平面

【答案】B

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，设（，则，，

因为，所以不可能平行，即不可能平行，

又，，因此可以垂直，即与可能垂直．

，，设平面的一个法向量为，

则，取，则，

与不可能平行，因此与平面不可能垂直，

，因此与不可能垂直，因此与平面不可能平行，

故选：B．

【规律方法】

用空间向量证明垂直问题的方法

【变式探究】

在边长是2的正方体-中，分别为

的中点. 应用空间向量方法求解下列问题.

 (1)求EF的长

 (2)证明：平面；

 (3)证明: 平面.

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】(1)如图建立空间直角坐标系

         4分

（2）  而

平面  8分

（3）  又                 

平面. 

【总结提升】

1.证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．

2.要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两线垂直的基本方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂直的基础．

3.证明线面垂直，可利用判定定理．如本题解法．

4.用向量证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直．

考点三 ： 异面直线所成的角

【典例3】如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝CD.

（1）求证：EF⊥B1C；

（2）求EF与C1G所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz.

则E（），，

（1）∵，，

∵，

（2）由（1）知，∴，

，，

设EF与C1G所成角为，则

故EF与C1G所成角的余弦值为

【特别提醒】

提醒：两异面直线所成角θ的范围是，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是两异面直线所成的角．

【变式探究】

由两块直角三角形拼成如图所示的空间立体图形，其中，当时，此时四点外接球的体积为__________；异面直线所成角的余弦为__________.

【答案】；.   

【解析】依题意可知，，当时，，则，取的中点，则；又，则，所以，即点是四面体外接球的球心，外接球半径，故外接球的体积.

依题意，，当时，，则，又，且，所以平面. 以点为原点，为轴，轴建立空间直角坐标系如图.

过点作于点，由得，则，所以，又，，，则，.

设异面直线，所成的角为，则.

故答案为：①；②.

【总结提升】

向量法求两异面直线所成角的步骤

(1)选好基底或建立空间直角坐标系；

(2)求出两直线的方向向量v1，v2；

(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解．

考点四 ： 直线与平面所成角

【典例4】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）在中，，，，由余弦定理可得，

所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．

（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,

则,

又为中点，所以.

由（1）得平面，所以平面的一个法向量

从而直线与平面所成角的正弦值为．

【规律方法】

利用向量法求线面角的方法

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.

【变式探究】如图，在正方体中，E为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）如下图所示：

在正方体中，且，且，

且，所以，四边形为平行四边形，则，

平面，平面，平面；

（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，，，

设平面的法向量为，由，得，

令，则，，则.

.

因此，直线与平面所成角的正弦值为.

考点五 ： 二面角

【典例5】已知在四棱锥中，平面为的中点.

（1）求证;平面;

（2）若，求锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）证明：取的中点为，分别连接

又因为为的中点，所以，且

又因为所以，

所以四边形是平行四边形，所以

又平面平面 所以平面

（2）解：由题意三条直线两两相互垂直.

以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，

因为在四边形中，

所以点在线段的垂直平分线上.又因为所以

所以有点，，所以

设平面的一个法向量，则 令得

易知平面的一个法向量为，           因为，

所以 ，所以锐二面角的余弦值为.

【规律方法】

利用向量法计算二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小．但要注意结合实际图形判断所求角的大小．

(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．

【变式探究】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．

（2）作EHBC，垂足为H．因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC．

由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=．以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz，

则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），=（1，0，），=（2，–1，0）．

设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则

即所以可取n =（3，6，–）．

又平面BCGE的法向量可取为m =（0，1，0），所以．

因此二面角B–CG–A的大小为30°．

考点六 ：  利用向量求空间距离

【典例6】如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，，分别为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求直线与平面之间的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】解：（1）取的中点，连接．

因为，且；，且，所以，且．

所以四边形为平行四边形．所以．

在矩形中，因为分别为的中点，所以．所以．

又平面，所以平面．

（2）如图建立空间直角坐标系．则，，，．

所以，，．设平面的法向量为，则

即令，则，，于是．设直线与平面所成角为，

则．

（3）由（1）知平面，所以直线与平面之间的距离为点到平面的距离．

所以直线与平面之间的距离为．

【总结提升】

利用法向量求解空间线面角、面面角、距离等问题，关键在于“四破”：①破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”，求出平面的法向量；④破“应用公式关”．

【变式探究】如图，在四棱锥中，交于点，，，底面．

求证：底面；

若是边长为2的等边三角形，求点到平面的距离．

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】在四棱锥中，交于点O，，，底面ABCD．

，又，平面PBD．

以O为原点，OD为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

交于点O，，，是边长为2的等边三角形，

，，，，

0，，0，，，0，，

0，，0，，，

设平面PBC的法向量 y，，则，取，得，

点到平面PBC的距离