精品高中数学一轮专题-二项式系数的性质（讲）（带答案）学案

这是一份精品高中数学一轮专题-二项式系数的性质（讲）（带答案）学案，共5页。学案主要包含了二项展开式的系数和问题，二项式系数性质的应用等内容，欢迎下载使用。
二项式系数的性质学习目标　1.理解二项式系数的性质.2.会用赋值法求展开式系数的和．同学们根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数．可以写成如下形式：这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就．问题　你能利用上述规律写出下一行的数值吗？提示　根据规律下一行的数值分别是：1　7　21　35　35　21　7　1. 知识点　二项式系数的性质对称性在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C增减性与最大值增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 思考　若(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为多少？答案　n＝7或8或9.1．令f(r)＝C(0≤r≤n，且r∈N)，则f(r)的图象关于直线r＝对称．(　√　)2．二项展开式中各项系数和等于二项式系数和．(　×　)3．二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.(　×　)4．二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．(　×　)一、二项展开式的系数和问题例1　已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；(3)a1＋a3＋a5.解　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.由(2x－1)5的通项Tk＋1＝C(－1)k·25－k·x5－k，知a1，a3，a5为负值，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，所以a1＋a3＋a5＝＝－121.延伸探究已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a2＋a4；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.解　(1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.所以a0＋a2＋a4＝＝122.(2)因为a0是(2x－1)5的展开式中x5的系数，所以a0＝25＝32.又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.(3)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，所以两边求导数得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.反思感悟　二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.跟踪训练1　已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.(1)求a2的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．解　∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.(1)a2＝C(－4)9＝－49×10.(2)令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0.(3)由(2)得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.二、二项式系数性质的应用例2　已知f(x)＝(＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解　令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝C()3·(3x2)2＝90x6，T4＝C()2·(3x2)3＝.(2)展开式的通项公式为Tk＋1＝C·3k·，假设Tk＋1项系数最大，则有∴即∴≤k≤，∵k∈N，∴k＝4，∴展开式中系数最大的项为T5＝C(3x2)4＝.反思感悟　(1)二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数的最大项．跟踪训练2　已知(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含的项；(3)求展开式中系数的绝对值最大的项．解　∵的展开式的通项是Tk＋1＝C()n－k·k＝(－2)kC(0≤k≤n，k∈N)，∴T5＝T4＋1＝24C，T3＝T2＋1＝22C.∵＝，∴n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．(1)令x＝1，则8＝(1－2)8＝1，即所求各项系数的和为1.(2)展开式的通项为Tk＋1＝(－2)kC(0≤k≤8，k∈N)．令＝，解得k＝1，∴展开式中含的项为T2＝T1＋1＝(－2)1C＝.(3)展开式的第k项、第k＋1项、第k＋2项的系数的绝对值分别为C2k－1，C2k，C2k＋1.若第k＋1项的系数绝对值最大，则有解得5≤k≤6，故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项，即T6＝－1 792，T7＝1 792x－11.