精品高中数学一轮专题-平面向量的应用一（带答案）

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平面向量的应用[基础题组练]1．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)A．－  B．－  C．   D．解析：选A．c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因为b⊥c，所以b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以k＝－.2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝(　　)A．   B． C．2   D．解析：选A．由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝＝＝.故选A．3．a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)A．－  B．－  C．   D．解析：选B．设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以，解得，故b＝(1，－2)，|b|＝，|a|＝2，cos〈a，b〉＝＝＝－，故选B．4．已知向量||＝3，||＝2，＝m＋n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为(　　)A．   B． C．6  D．4解析：选A．因为向量||＝3，||＝2，＝m＋n，与夹角为60°，所以·＝3×2×cos 60°＝3，所以·＝(－)·(m＋n)＝(m－n)·－m||2＋n||2＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以＝，故选A．5．(多选)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，下列结论正确的是(　　)A．在方向上的投影长为－B．·＝·C．在方向上的投影长为D．·＝·解析：选BCD．由＋＋＝0得＝－＝，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以||＝||，又||＝||，所以△OAB为正三角形．因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝，所以在上的投影为||cos＝2×＝，故C正确．因为·＝·＝－2，·＝·＝2，故B，D正确．6．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．解析：a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝.答案：7．已知点M，N满足||＝||＝3，且|＋|＝2，则M，N两点间的距离为________．解析：依题意，得|＋|2＝||2＋||2＋2·＝18＋2·＝20，则·＝1，故M，N两点间的距离为||＝|－|＝＝＝4.答案：48．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2×＝6.答案：　69．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，解得x＝7，即b＝(1，7)，所以|b|＝＝5.(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，故x＝－3，所以b＝(1，－3)，所以cos〈a，b〉＝＝＝，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b夹角是.10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．解：(1)由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4)．所以|＋|＝2，|－|＝4.故所求的两条对角线的长分别为4，2.(2)法一：由题设知：＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)．由(－t)·＝0，得：(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.法二：·＝t2，＝(3，5)，t＝＝－.[综合题组练]1．已知O是△ABC内部一点，且满足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)A．  B．3 C．1  D．2解析：选C．由·＝2，∠BAC＝60°，可得·＝||·||cos ∠BAC＝·||||＝2，所以||||＝4，所以S△ABC＝||||sin∠BAC＝3，又＋＋＝0，所以O为△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝1，故选C．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为(　　)A．－  B．0  C．4  D．－1解析：选A．依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，当t＝时，·取得最小值－，故选A．3．设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a|＝________，则当t∈[－，2]时，|a－tb|的取值范围是________．解析：向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，所以x－2＝0，解得x＝2，所以|a|＝＝.|a－tb|2＝a2＋t2b2－2ta·b＝5t2＋5，所以当t＝0时，取得最小值为5；当t＝2时，取得最大值为25.即|a－tb|的取值范围是[，5]．答案：　[，5]4．在边长为2的菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，E为线段CD上的任意一点，则·的最大值为________；向量的模的取值范围是________．解析：以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由∠BAD＝60°，|AB|＝2，可知△ABD为正三角形，|AO|＝，|DO|＝1，所以点A(－，0)，C(，0)，D(0，1)，B(0，－1)，＝(2，0)，＝(，1)．因为D，E，C三点共线，所以＝x＋(1－x)，0≤x≤1，即＝x(2，0)＋(1－x)(，1)＝((1＋x)，1－x)，＝(0，2)，所以·＝2(1－x)．又0≤x≤1，所以0≤·＝2(1－x)≤2，故·的最大值为2.||＝＝＝2，又0≤x≤1，故向量的模的取值范围是[2，2]．答案：2　[2，2]5．(创新型)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos B，2cos2 －1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.(1)求∠C的大小；(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，在△ABC中，由正弦定理得sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，sin A＝2sin Acos C，又sin A≠0，所以cos C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝.(2)由＝知，－＝－，所以2＝＋，两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos ∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①又c2＝a2＋b2－2abcos ∠ACB，所以a2＋b2－ab＝12.②由①②得ab＝8，所以S△ABC＝absin ∠ACB＝2.6.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．(1)若θ＝π，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．解：(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，由题意知C，所以＋＝，所以|＋|2＝－t＋t2＋＝t2－t＋1＝＋，所以当t＝时，|＋|有最小值，为.(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，因为θ∈，所以≤2θ＋≤，所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin取得最大值1.所以当θ＝时，m·n取得最小值，为1－.