精品高中数学一轮专题-平面向量的应用二（带答案）

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平面向量的数量积及应用

一、综合练——练思维敏锐度

1．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(x,4)，若(a－b)⊥c，则c·(a＋b)＝(　　)

A．(2,12)　　　　　　　 　 B．(－2,12)

C．14  D．10

解析：选C　由题意可得，a－b＝(－4,1)，由(a－b)⊥c，得(－4)×x＋1×4＝0，即     －4x＋4＝0，解得x＝1，所以c＝(1,4)．又a＋b＝(2,3)，所以c·(a＋b)＝1×2＋4×3＝14.

2．已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝(　　)

A.   B．1

C.  D．2

解析：选A　由题意得a·b＝|a|×1×＝，

又|2a－b|＝1，

∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，

即4|a|2－2|a|＝0，又|a|≠0，解得|a|＝.

3．已知a＝(2sin 13°，2sin 77°)，|a－b|＝1，a与a－b的夹角为，则a·b＝(　　)

A．2   B．3

C．4  D．5

解析：选B　因为a＝(2sin 13°，2sin 77°)，所以|a|＝＝＝2，又因为|a－b|＝1，向量a与a－b的夹角为，

所以cos ＝＝＝＝，所以a·b＝3，故选B.

4.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则·＝(　　)

A．2   B．3

C．6  D．12

解析：选C　·＝(＋)·(－)＝(＋)·(2－)＝2||2＋·－||2＝8＋2×2×－4＝6.

5．(多选)已知向量a＝(6,2)，b＝(－2，k)，k为实数，则下列结论正确的是(　　)

A．若a·b＝6，则k＝9

B．若|a＋b|≤5，则－5≤k≤1

C．不存在实数k，使(a－b)⊥b成立

D．若a与b的夹角为钝角，则k<6

解析：选ABC　对于A，由a·b＝6×(－2)＋2k＝6，解得k＝9，A正确；

对于B，a＋b＝(4,2＋k)，由|a＋b|≤5，得16＋(2＋k)2≤25，解得－5≤k≤1，B正确；

对于C，因为a－b＝(8,2－k)，由(a－b)⊥b，得(8,2－k)·(－2，k)＝0，即k2－2k＋16＝0，此方程无解，所以不存在实数k，使(a－b)⊥b成立，C正确；

对于D，若a与b的夹角为钝角，则a·b<0，且a与b不共线，即6×(－2)＋2k<0,6k－(－2)×2≠0，

解得k<6且k≠－，D错误，故选A、B、C.

6.如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则·的最大值为(　　)

A.  B．

C．1  D．

解析：选C　∵扇形OAB的半径为1，∴||＝1，∵OP⊥OB，∴·＝0.

∵∠AOB＝，∴∠AOP＝，∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·＋·＋·＝1＋||cos ＋||·||cos ≤1＋0×＋0×＝1，故选C.

7．直角△ABC中，AB＝AC＝2，D为AB边上的点，且＝2，则·＝________；若＝x＋y，则xy＝________.

解析：以A为原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)，D，则＝，＝(0，－2)，＝(2，－2)，则·＝·(0，－2)＝×0＋(－2)×(－2)＝4.由＝x＋y＝x(0，－2)＋y(2，－2)＝(2y，－2x－2y)＝，

得解得则xy＝.

答案：4　

8．已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为120°，则|a|的取值范围为________．

解析：在△ABC中，设＝a，＝b，

则b－a＝－＝，

∵a与b－a的夹角为120°，∴∠B＝60°，

由正弦定理得＝，

∴|a|＝＝sin C.

∵0°<C<120°，∴sin C∈(0,1]，∴|a|∈.

答案：

9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________．

解析：依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，由·＝··cos∠BAD＝      －＝－，得＝1，因此λ＝＝.取MN的中点E，连接DE，则＋＝2，·＝[(＋)2－(－)2]＝2－2＝2－.注意到线段MN在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即AB·sin∠B＝，因此2－的最小值为2－＝，即·的最小值为.

答案：　

10.伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，AB＝30 m，BC＝40 m，CD＝50 m，∠ABC＝∠BCD＝45°，要建设一条从点A到点D的空中长廊，则AD＝_______m.

解析：由题可知∠ABC＝∠BCD＝45°，所以AB∥CD，

由＝＋＋可得，

||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·，

又·＝||||cos 135°＝－1 200，

·＝||||cos 0°＝1 500，

·＝||||cos 135°＝－2 000，

所以||2＝900＋3 200＋2 500－2 400＋3 000－4 000＝3 200，则||＝40 m.

答案：40

11．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.

(1)若m⊥n，求tan x的值；

(2)若m与n的夹角为，求x的值．

解：(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n，

所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，所以sin x＝cos x，

所以tan x＝1.

(2)由已知得|m|＝|n|＝1，所以m·n＝|m|·|n|cos ＝，即sin x－cos  x＝，所以sin＝.因为0<x<，所以－<x－<，所以x－＝，即x＝.

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝.

(1)若sin A＝，求cos C；

(2)若b＝4，求·的最小值．

解：(1)在△ABC中，由cos B＝得，sin B＝，

∵sin B＝>sin A，∴B>A，故A为锐角，

∴cos A＝，

∴cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝.

(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得，

16＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，当且仅当a＝c时等号成立，∴ac≤13，

∴·＝accos(π－B)＝－accos B＝－ac≥－5.

故·的最小值为－5.

二、自选练——练高考区分度

1.△ABC中，|AC|＝2，|AB|＝2，∠BAC＝120°，＝λ，＝μ，M为线段EF的中点，若||＝1，则λ＋μ的最大值为(　　)

A.  B．

C．2  D．

解析：选C　＝(＋)

＝＋，

∴||2＝2＝λ2＋μ2＋×4cos 120°＝λ2＋μ2－λμ＝1，

∴1＝λ2＋μ2－λμ＝(λ＋μ)2－3λμ≥(λ＋μ)2－(λ＋μ)2＝(λ＋μ)2，

∴λ＋μ≤2，当且仅当λ＝μ＝1时等号成立．故选C.

2．已知向量a，b，c满足：a＝(4,0)，b＝(4,4)，(a－c)·(b－c)＝0，则b·c的最大值是(　　)

A．24   B．24－8

C．24＋8  D．8

解析：选C　设＝a＝(4,0)，＝b＝(4,4)，＝c＝(x，y)，则a－c＝(4－x，－y)，b－c＝(4－x,4－y)，又知(a－c)·(b－c)＝0，∴(4－x)2－y(4－y)＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝4，∴点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝4.

而b·c＝4x＋4y，令z＝4x＋4y，由平面几何知识可得当直线4x＋4y－z＝0与圆(x－4)2＋(y－2)2＝4相切时，z取得最大值或最小值，即zmax＝24＋8，故选C.

3．已知平面向量，满足||＝||＝1，·＝－.若||＝1，则||的最大值为(　　)

A.－1  B．－1

C.＋1  D．＋1

解析：选D　因为||＝||＝1，·＝－，所以cos∠APB＝－，即∠APB＝，由余弦定理可得AB＝＝.如图，建立平面直角坐标系，则A，B，由题设点C(x，y)在以B为圆心，半径为1的圆上运动，结合图形可知，点C(x，y)运动到点D时，有|AC|max＝|AD|＝|AB|＋1＝＋1.故选D.

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.

(1)求角B的大小；

(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．

解：(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.

根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，

所以sin Acos B＝sin(C＋B)，

即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，

所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.

(2)因为|－|＝，所以||＝，即b＝，

根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，

即ac≤3(2＋)．

故△ABC的面积S＝acsin B≤，

因此△ABC的面积的最大值为