新教材(辅导班)高一数学寒假讲义07《6.2.1-2.2平面向量的加减运算》课时(含解析) 学案

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知识点一 向量的加法
(1)向量加法的定义
eq \(□,\s\up4(01))求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2)向量加法的运算法则
知识点二 向量的三角形不等式
对任意两个向量a，b，均有|a＋b|eq \(□,\s\up4(01))≤|a|＋|b|.
当a，b同向时有|a＋b|eq \(□,\s\up4(02))＝|a|＋|b|；当a，b反向时有|a＋b|eq \(□,\s\up4(03))＝||a|－|b||.
知识点三 向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
1．准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则
(1)两个法则的使用条件不同
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
如图所示：eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(AD,\s\up16(→))(平行四边形法则)，又因为eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \(AD,\s\up16(→))，
所以eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))(三角形法则)．
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系
(1)当a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|.
(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b的方向与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.
若|a|＜|b|，则a＋b的方向与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量相加结果可能是一个数量．( )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( )
答案 (1)× (2)× (3)×
2．做一做
(1)对任意四边形ABCD，下列式子中不等于eq \(BC,\s\up16(→))的是( )
A.eq \(BA,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→)) B.eq \(BD,\s\up16(→))＋eq \(DA,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→)) C.eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BD,\s\up16(→))＋eq \(DC,\s\up16(→)) D.eq \(DC,\s\up16(→))＋eq \(BA,\s\up16(→))＋eq \(AD,\s\up16(→))
(2)如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(FE,\s\up16(→))＋eq \(CD,\s\up16(→))|等于( )
A．1 B．2 C.eq \r(3) D.eq \r(5)
(3)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b＋c.
答案 (1)C (2)B
(3)解：a，b，c不共线中隐含着a，b，c均为非零向量，因
为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．
解法一(三角形法则)：
如图①所示，作eq \(AB,\s\up16(→))＝a，eq \(BC,\s\up16(→))＝b，则eq \(AC,\s\up16(→))＝a＋b，再作eq \(CD,\s\up16(→))＝c，则eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \(AC,\s\up16(→))＋eq \(CD,\s\up16(→))＝(a＋b)＋c，
即eq \(AD,\s\up16(→))＝a＋b＋c.
解法二(平行四边形法则)：因为a，b，c不共线，如图②所示．
在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up16(→))＝a，eq \(OB,\s\up16(→))＝b，以eq \(OA,\s\up16(→))，eq \(OB,\s\up16(→))为邻边作▱OADB，
则对角线eq \(OD,\s\up16(→))＝a＋b，再作eq \(OC,\s\up16(→))＝c，以eq \(OC,\s\up16(→))，eq \(OD,\s\up16(→))为邻边作▱OCED.则eq \(OE,\s\up16(→))＝a＋b＋c.
题型一 向量的三角形和平行四边形法则
例1 如下图中(1)，(2)所示，试作出向量a与b的和．
[解] 如下图中(1)，(2)所示，
首先作eq \(OA,\s\up16(→))＝a，然后作eq \(AB,\s\up16(→))＝b，则eq \(OB,\s\up16(→))＝a＋b.
(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤
①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．
②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．
(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤
①平移两个不共线的向量使之共起点．
②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．
③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．
(1)如图，已知a，b，求作a＋b；
(2)如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c.
解 (1)如图①，②所示．
首先作eq \(AB,\s\up16(→))＝a，然后作eq \(BC,\s\up16(→))＝b，则eq \(AC,\s\up16(→))＝a＋b.
(2)作法一：如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq \(OA,\s\up16(→))＝a，接着作向量eq \(AB,\s\up16(→))＝b，
则得向量eq \(OB,\s\up16(→))＝a＋b；然后作向量eq \(BC,\s\up16(→))＝c，则向量eq \(OC,\s\up16(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．

作法二：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq \(OA,\s\up16(→))＝a，eq \(OB,\s\up16(→))＝b，eq \(OC,\s\up16(→))＝c，
以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则eq \(OD,\s\up16(→))＝eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \(OB,\s\up16(→))＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则eq \(OE,\s\up16(→))＝eq \(OD,\s\up16(→))＋eq \(OC,\s\up16(→))＝a＋b＋c即为所求.

题型二 向量的加法运算
例2 如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：
(1)eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CE,\s\up16(→))＋eq \(EA,\s\up16(→))； (2)eq \(OE,\s\up16(→))＋eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(EA,\s\up16(→))； (3)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(FE,\s\up16(→))＋eq \(DC,\s\up16(→)).
[解] (1)eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CE,\s\up16(→))＋eq \(EA,\s\up16(→))＝eq \(BE,\s\up16(→))＋eq \(EA,\s\up16(→))＝eq \(BA,\s\up16(→)).
(2)eq \(OE,\s\up16(→))＋eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(EA,\s\up16(→))＝(eq \(OE,\s\up16(→))＋eq \(EA,\s\up16(→)))＋eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \(OB,\s\up16(→)).
(3)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(FE,\s\up16(→))＋eq \(DC,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BD,\s\up16(→))＋eq \(DC,\s\up16(→))＝eq \(AD,\s\up16(→))＋eq \(DC,\s\up16(→))＝eq \(AC,\s\up16(→)).
解决向量加法运算时应关注的两点
(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．
(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.
化简或计算：
(1)eq \(CD,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(AB,\s\up16(→))； (2)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(DF,\s\up16(→))＋eq \(CD,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(FA,\s\up16(→)).
解 (1)eq \(CD,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(AB,\s\up16(→))＝(eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→)))＋eq \(CD,\s\up16(→))＝eq \(AC,\s\up16(→))＋eq \(CD,\s\up16(→))＝eq \(AD,\s\up16(→)).
(2)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(DF,\s\up16(→))＋eq \(CD,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(FA,\s\up16(→))＝(eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→)))＋(eq \(CD,\s\up16(→))＋eq \(DF,\s\up16(→)))＋eq \(FA,\s\up16(→))＝eq \(AC,\s\up16(→))＋eq \(CF,\s\up16(→))＋eq \(FA,\s\up16(→))＝eq \(AF,\s\up16(→))＋eq \(FA,\s\up16(→))＝0.
题型三 利用向量加法证明几何问题
例3 已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且eq \(AO,\s\up16(→))＝eq \(OC,\s\up16(→))，eq \(DO,\s\up16(→))＝eq \(OB,\s\up16(→)).
求证：四边形ABCD是平行四边形．
[证明] eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \(AO,\s\up16(→))＋eq \(OB,\s\up16(→))，eq \(DC,\s\up16(→))＝eq \(DO,\s\up16(→))＋eq \(OC,\s\up16(→))，
又∵eq \(AO,\s\up16(→))＝eq \(OC,\s\up16(→))，eq \(OB,\s\up16(→))＝eq \(DO,\s\up16(→))，∴eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \(DC,\s\up16(→))，
∴AB＝DC且AB∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
怎样用向量方法证明几何问题
用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．
如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E，F，使BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．
证明 ∵eq \(AE,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BE,\s\up16(→))，eq \(FC,\s\up16(→))＝eq \(FD,\s\up16(→))＋eq \(DC,\s\up16(→))，
又eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \(DC,\s\up16(→))，eq \(FD,\s\up16(→))＝eq \(BE,\s\up16(→))，
∴eq \(AE,\s\up16(→))＝eq \(FC,\s\up16(→))，即AE与FC平行且相等．
∴四边形AECF是平行四边形.
题型四 向量加法的实际应用
例4 在水流速度为向东10 km/h的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10eq \r(3) km/h，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．
[解] 如图所示，eq \(OA,\s\up16(→))表示水速，eq \(OB,\s\up16(→))表示船实际航行的速度，eq \(OC,\s\up16(→))表示船速，
由eq \(OB,\s\up16(→))＝eq \(OC,\s\up16(→))＋eq \(OA,\s\up16(→))，易知|eq \(BC,\s\up16(→))|＝|eq \(OA,\s\up16(→))|＝10，
又∠OBC＝90°，所以|eq \(OC,\s\up16(→))|＝20，所以∠BOC＝30°，所以∠AOC＝120°，
即船行驶速度为20 km/h，方向与水流方向的夹角为120°.
应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤
在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东35°的方向行驶800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向行驶800 km送往C地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．
解 如图所示，设eq \(AB,\s\up16(→))，eq \(BC,\s\up16(→))分别表示救护车从A地按北偏东35°方向行驶800 km，
从B地按南偏东55°的方向行驶800 km.则救护车行驶的路程指的是|eq \(AB,\s\up16(→))|＋|eq \(BC,\s\up16(→))|；
两次行驶的位移的和指的是eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \(AC,\s\up16(→)).依题意，
有|eq \(AB,\s\up16(→))|＋|eq \(BC,\s\up16(→))|＝800＋800＝1600(km)．
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.
所以|eq \(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(\a\vs4\al(|\(AB,\s\up16(→))|2＋|\(BC,\s\up16(→))|2))＝eq \r(8002＋8002)＝800eq \r(2)(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而救护车行驶的路程是1600 km，两次行驶的位移和的大小为800eq \r(2) km，
方向为北偏东80°.
1．下列等式错误的是( )
A．a＋0＝0＋a＝a B.eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→))＝0
C.eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BA,\s\up16(→))＝0 D.eq \(CA,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \(MN,\s\up16(→))＋eq \(NP,\s\up16(→))＋eq \(PM,\s\up16(→))
答案 B
解析 对于A，根据0加任何向量都等于原向量，且向量加法满足交换律，所以A正确；
对于B，根据向量的三角形加法运算可得eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \(AC,\s\up16(→))，故原式等于eq \(AC,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→))≠0.故B错误；
对于C，可知eq \(AB,\s\up16(→))与eq \(BA,\s\up16(→))共线且方向相反，所以eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BA,\s\up16(→))＝0，所以C正确；
对于D，可知eq \(MN,\s\up16(→))＋eq \(NP,\s\up16(→))＋eq \(PM,\s\up16(→))＝eq \(MP,\s\up16(→))＋eq \(PM,\s\up16(→))＝0，又eq \(CA,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→))＝0，可知D正确．故选B.
2．设P是△ABC所在平面内一点，且eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(BA,\s\up16(→))＝eq \(BP,\s\up16(→))＋eq \(BP,\s\up16(→))，则( )
A.eq \(PA,\s\up16(→))＋eq \(PB,\s\up16(→))＋eq \(PC,\s\up16(→))＝0 B.eq \(PA,\s\up16(→))＋eq \(PB,\s\up16(→))＝0 C.eq \(PC,\s\up16(→))＋eq \(PA,\s\up16(→))＝0 D.eq \(PB,\s\up16(→))＋eq \(PC,\s\up16(→))＝0
答案 C
解析 因为P是△ABC所在平面内一点，eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(BA,\s\up16(→))＝eq \(BP,\s\up16(→))＋eq \(BP,\s\up16(→))，所以P是AC的中点，
所以eq \(PC,\s\up16(→))＋eq \(PA,\s\up16(→))＝0.
3．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
答案 8eq \r(2) km 北偏东45°
解析 如图所示，设eq \(AB,\s\up16(→))＝a，eq \(BC,\s\up16(→))＝b，
则eq \(AC,\s\up16(→))＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形．则|eq \(AC,\s\up16(→))|＝8eq \r(2)，∠BAC＝45°.
4．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|Aeq \(B,\s\up16(→))|＝1，则|eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CD,\s\up16(→))|＝________.
答案 1
解析 由题意知△ABD为等边三角形，∴|eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CD,\s\up16(→))|＝|eq \(BD,\s\up16(→))|＝1.
5．如图，在正六边形OABCDE中，eq \(OA,\s\up16(→))＝a，eq \(OE,\s\up16(→))＝b，试用向量a，b将eq \(OB,\s\up16(→))，eq \(OC,\s\up16(→))，eq \(OD,\s\up16(→))表示出来．
解 设正六边形的中心为P，则四边形ABPO，AOEP，ABCP，OPDE均为平行四边形，
由向量加法的平行四边形法则得eq \(OP,\s\up16(→))＝eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \(OE,\s\up16(→))＝a＋b.
∵eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \(OP,\s\up16(→))＝eq \(ED,\s\up16(→))，∴eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \(ED,\s\up16(→))＝a＋b.
在△AOB中，根据向量加法的三角形法则得eq \(OB,\s\up16(→))＝eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \(AB,\s\up16(→))＝a＋a＋b.
同理，在△OBC中，eq \(OC,\s\up16(→))＝eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＝a＋a＋b＋b，
在△OED中，eq \(OD,\s\up16(→))＝eq \(OE,\s\up16(→))＋eq \(ED,\s\up16(→))＝eq \(OE,\s\up16(→))＋eq \(OP,\s\up16(→))＝b＋a＋b.
6.2.2 向量的减法运算
知识点一 相反向量
知识点二 向量的减法
1．向量减法的运算法则
(1)向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．
(2)两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，如图，两个向量也是共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线(eq \(AC,\s\up16(→)))，而差向量是另一条对角线(eq \(DB,\s\up16(→)))，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．
2．非零向量a，b的差向量的三角不等式
(1)当a，b不共线时，如图①，作eq \(OA,\s\up16(→))＝a，eq \(OB,\s\up16(→))＝b，则a－b＝eq \(OA,\s\up16(→))－eq \(OB,\s\up16(→))＝eq \(BA,\s\up16(→)).
(2)当a，b共线且同向时，
若|a|>|b|，则a－b与a，b同向(如图②)，于是|a－b|＝|a|－|b|.
若|a|