新教材(辅导班)高一数学寒假讲义08《6.2.3向量的数乘运算》课时(含解析) 学案

6.2.3　向量的数乘运算

知识点一　　　向量的数乘

知识点二　　　实数与向量的积的运算律

知识点三　　　共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

1．对λa的理解

(1)可以将a的长度扩大(|λ|>1时)，也可以缩小(|λ|<1时)；同时可以不改变a的方向(λ>0时)，也可以改变a的方向(λ<0时)，与a的方向相反．

(2)当λ＝0时，λa＝0，而当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0.

(3)实数与向量可以求积，结果仍是一个向量，它可以看成实数与实数的积的定义的推广，但不能进行加减运算，如：λ＋a，λ－a无意义．

2．对两向量共线的条件的理解

(1)判断两向量共线，其实就是找一个实数，使得它与一个向量的积等于另一个向量．可以用来证明几何中的三点共线及两直线平行的问题．

(2)为何规定“非零向量a”这一条件？若a＝0，b≠0时，不存在实数λ使得b＝λa；若a＝0，b＝0，则存在不唯一的实数满足等式．

(3)若a，b不共线，且存在实数λ，μ，使μa＝λb(或μ a＋λb＝0)，则必有μ＝λ＝0.因为a，b不共线，则a，b必为非零向量，若λ≠0，则b＝a，若μ≠0，则a＝b，无论哪种情况都有a，b共线与已知矛盾，故必有λ＝μ＝0.

(4)两向量共线的一般形式：若存在不全为0的一对实数λ，μ使μa＋λb＝0，则a与b共线．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)λa的方向与a的方向一致．(　　)

(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉．(　　)

(3)若a＝4e，b＝－8e，则a＝－2b.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×

2．做一做

(1)下列各式中不表示向量的是(　　)

A．0·a      B．a＋3b        C．|3a|        D.e(x，y∈R，且x≠y)

(2)下列各式计算正确的有(　　)

①(－7)6a＝－42a；   ②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；

③a－2b＋a＋2b＝2a；  ④4(2a＋b)＝8a＋4b.

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

(3)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)

A．k＝1且c与d同向

B．k＝1且c与d反向

C．k＝－1且c与d同向

D．k＝－1且c与d反向

(4)已知向量a＝2e，b＝－e，则a与b________(填“共线”或“不共线”)．

答案　(1)C　(2)C　(3)D　(4)共线

题型一  向量的数乘运算

例1　化简下列各式：

(1)3(6a＋b)－9；         

(2)－2；

(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.

[解]　(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.

(2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.

(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.

　向量数乘运算的方法

(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．

(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．

(1)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)；

(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.

解　(1)原式＝a－b－a＋b＋2b－a

＝a＋b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)

＝i＋j＝－i－5j.

(2)

①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，再代入①，得y＝4a＋3b.

题型二  向量的线性运算的应用

例2　如图，四边形ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．

(1)＝________；        (2)＝________.

[解析]　(1)因为∥，||＝2||，

所以＝2，＝.＝＋＝e2＋e1.

(2)＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.

[答案]　(1)e2＋e1　(2)e1－e2

[互动探究]　在本例中，若条件改为＝e1，＝e2，试用e1，e2表示向量.

解　因为＝＋＋，＝＋＋，

所以2＝(＋)＋＋＋(＋)．

又因为M，N分别是DC，AB的中点，

所以＋＝0，＋＝0.所以2＝＋，

所以＝(－－)＝－e2－e1.

　用已知向量表示其他向量的两种方法

(1)直接法

(2)方程法

当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．

如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.

解　解法一：设＝x，则＝x，＝＋＝e1－x，＝e1－x.

又＝x，由＋＝，得x＋e1－x＝e2.

解方程得x＝e2－e1，即＝e2－e1.

由＝－，＝e1－x，得＝－e1＋e2.

解法二：设＝x，＝y，则＝x，＝－y.

由＋＝，＋＝，

得－2×②＋①，得x－2x＝e1－2e2，x＝(2e2－e1)．

同理得y＝(－2e1＋e2)，即＝e2－e1，＝－e1＋e2.

解法三：如图所示，延长BC与AL的延长线交于点E，则△DLA≌△CLE.

从而＝2，＝，＝，

由＝－，得＝2e2－e1，即＝(2e2－e1)＝e2－e1.

同理可得＝(－2e1＋e2)＝－e1＋e2.

题型三  共线向量定理的应用

例3　已知非零向量e1，e2不共线．

(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；

(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．

[解]　(1)证明：∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.

∴，共线，且有公共点B.∴A，B，D三点共线．

(2)∵ke1＋e2和e1＋ke2共线，

∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(λk－1)e2.

∵e1与e2不共线，∴解得k＝±1.

[变式探究]　

本例条件不变，将(2)改为：欲使ke1＋2e2和2e1＋ke2共线，试确定k的值．

解　∵ke1＋2e2和2e1＋ke2共线，

∴存在实数λ使ke1＋2e2＝λ(2e1＋ke2)，

即(k－2λ)e1＝(λk－2)e2，

∵e1，e2不共线，∴解得k＝±2.

　用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路

(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．

(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量＝λ，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．

(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，

求证：A，B，D三点共线；

(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．

解　(1)证明：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，∴＝－＝e1－4e2.

又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴＝2，∴∥.

∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．

(2)由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，

必定存在实数λ使＝λ，即－＝λ(－)，所以＝(1－λ)＋λ，

故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.

1．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　)

①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.

A．①④  B．①②  C．①③  D．③④

答案　B

解析　①②显然正确．③中当m＝0时，对于任意两向量a，b，ma＝mb都成立，但不一定有a＝b，故③错误．④中当a＝0时，不成立．故选B.

2．对于向量a，b有下列表示：

①a＝2e，b＝－2e；

②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；

③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；

④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.

其中，向量a，b一定共线的是(　　)

A．①②③  B．②③④  C．①③④  D．①②③④

答案　A

解析　①中b＝－a，则a，b共线；②中b＝－2a，则a，b共线；③中a＝4b，则a，b共线．

故选A.

3．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.

答案　　

解析　由已知得解得x＝y＝.

4. 如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．

答案　(b－a)解析　∵＝3，M为BC的中点，则

＝＋＝－＝－(＋)＝－＝(b－a)．

5．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．

证明　∵F，G分别是AB，AC的中点，∴＝.同理，＝.

∴＝.∴四边形EFGH为平行四边形．