新教材(辅导班)高一数学寒假讲义11《6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示》课时(含解析) 学案

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示

知识点一　　　平面向量数乘运算的坐标表示

知识点二　　　平面向量共线的坐标表示

已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P是线段P1P2的中点，

则点P的坐标为；

若P是线段P1P2上距P1较近的三等分点，

则P点的坐标为；

若P是线段P1P2上距P2较近的三等分点，

则P点的坐标为.

1．线段定比分点的坐标公式

(1)线段定比分点的定义

如图所示，设点P(x，y)是线段P1P2上不同于P1，P2的点，且满足＝λ，

即＝λ，λ叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以λ为定比的定比分点．

(2)定比分点的坐标表示

设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，

即

当λ≠－1时，则点P的坐标为.

特别地，

①当λ＝1时，点P的坐标为，这就是线段P1P2的中点坐标公式；

②若λ<0，则点P在P1P2的延长线或其反向延长线上，由向量共线的坐标表示及平行向量基本定理同样可得点P的坐标为.

2．两个向量共线条件的表示方法

已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

(1)当b≠0，a＝λb.

(2)x1y2－x2y1＝0.

(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．

3．向量共线的坐标表示的应用

两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面：

(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线的知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．

(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值．要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)已知向量a＝(－2,4)，b＝(1，－2)，则a＝－2b.(　　)

(2)已知A(0,2)，B(4,4)，则线段AB的中点坐标为(2,3)．(　　)

(3)已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则C点的坐标可能是(9,1)．(　　)

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b时，有＝成立．(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×

2．做一做

(1)下列各组向量中，共线的是(　　)

A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)

B．a＝(2,3)，b＝(3,2)

C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)

D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)

(2)已知向量a＝(2，－3)，若a＝2b，则b＝(　　)

A．(4，－6)        B．(－6,4)     C.        D.

(3)若平面内三点A(－2,3)，B(3，－2)，C共线，则m为(　　)

A.  B．－        C．－2  D．2

(4)已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点的坐标为________．

答案　(1)D　(2)C　(3)A　(4)(1，－1)

题型一  向量数乘运算的坐标表示

例1　设向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求下列各向量：

(1)a＋b；(2)a－b；(3)3a；(4)2a＋5b.

[解]　(1)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)．

(2)a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)．

(3)3a＝3(－1,2)＝(－3,6)．

(4)2a＋5b＝2(－1,2)＋5(3，－5)＝(－2,4)＋(15，－25)＝(13，－21)．

向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用．

在▱ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对称中心为O，则等于(　　)

A.      B.     C.      D.

答案　B

解析　＝－＝－(＋)＝－(1,10)＝.

题型二  向量数乘运算的简单应用

例2　已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　　)

A．－2,1         B．1，－2      C．2，－1         D．－1,2

[解析]　因为c＝λ1a＋λ2b，所以(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，

所以解得λ1＝－1，λ2＝2.

[答案]　D

　利用向量的坐标运算求参数的思路

已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)进行求解．

已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．

(1)求线段BD的中点M的坐标；

(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．

解　(1)设B(x1，y1)，因为＝(4,3)，A(－1，－2)，

所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，

所以所以所以B(3,1)．同理，可得D(－4，－3)，

设BD的中点M(x2，y2)，则x2＝＝－，y2＝＝－1.所以M.

(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，

又＝λ(λ∈R)，所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)．

所以所以

题型三  向量共线

例3　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________；

(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？

[解析]　(1)因为a＝(1,2)，b＝(2,3)，

所以λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．

因为向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，

所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2.

(2)解法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3，2k＋2)，

a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，

当ka＋b与a－3b平行时，存在实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．

由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，所以解得k＝λ＝－.

当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，

因为λ＝－<0，所以ka＋b与a－3b反向．

解法二：由题意知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，

因为ka＋b与a－3b平行，所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－.

这时ka＋b＝＝－(a－3b)．

所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．[答案]　(1)2　(2)见解析

　向量共线的判定方法

(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.

(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．

已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________.

答案　1

解析　因为a－2b＝(，3)与c＝(k，)共线，所以3k＝×，故k＝1.

题型四  点共线问题

例4　(1)若点A(1，－3)，B，C(x,1)共线，则x＝________；

(2)设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？

[解析]　(1)＝，＝(x－1,4)．

因为点A，B，C共线，所以与共线．所以7×4－(x－1)＝0，解得x＝9.

(2)解法一：若A，B，C三点共线，则，共线，则存在实数λ，使得＝λ，

因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)．

所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)．

即解得k＝－2或k＝11.

所以当k＝－2或11时，A，B，C三点共线．

解法二：由题意知，共线，

因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，

所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，

所以k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.

所以当k＝－2或11时，A，B，C三点共线．

[答案]　(1)9　(2)见解析

　三点共线的实质与证明步骤

(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．

(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．

已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．

(1)求实数x的值，使向量与共线；

(2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？

解　(1)＝(x,1)，＝(4，x)．∵∥，∴x2＝4，x＝±2.

(2)由已知得＝(2－2x，x－1)，当x＝2时，＝(－2,1)，＝(2,1)，

∴和不平行，此时A，B，C，D不在一条直线上；

当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2,1)，

∴∥，此时A，B，C三点共线．

又∥，∴A，B，C，D四点在一条直线上．

综上，当x＝－2时，A，B，C，D四点在一条直线上.

题型五  定比分点坐标公式

例5　线段M1M2的端点M1，M2的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且＝－2，则点M的坐标为(　　)

A．(3,8)        B．(1,3)       C．(3,1)      D．(－3，－1)

[解析]　设M(x，y)，利用线段定比分点的坐标公式，

得x＝＝3，y＝＝1.

[答案]　C

　定比分点的两个特殊情况

(1)中点坐标公式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的中点为P(x，y)，则x＝，y＝.

(2)重心坐标公式：在△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标为G.

已知两点P1(3,2)，P2(－8,3)，点P满足＝λ，求λ及y的值．

解　解法一：因为＝＝，＝＝，

所以＝λ－，3－y)．

根据向量相等，得解得

解法二：因为P1(3,2)，P2(－8,3)，P，

所以点P分所成的比λ＝＝.

由定比分点的坐标公式得y＝＝.

题型六  向量共线的应用

例6　在△AOB中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC交于点M，求点M的坐标．

[解]　∵点O(0,0)，A(0,5)，B(4，3)，∴＝(0,5)，＝(4,3)．

∵＝(xC，yC)＝＝.∴点C的坐标为.

同理可得点D的坐标为.

设点M的坐标为(x，y)，则＝(x，y－5)，而＝.

∵A，M，D三点共线，∴与共线．∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①

而＝，＝＝，

∵C，M，B三点共线，∴与共线．∴x－4＝0，即7x－16y＝－20.②

由①②，得x＝，y＝2.∴点M的坐标为.

[变式探究]　

若将本例中的“＝”改为“＝”，其他条件不变，再试求M点的坐标．

解　∵点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，∴＝(0,5)，＝(4,3)，又＝，

∴C点坐标为，同理D点坐标为，

设M的坐标为(x，y)，则＝(x，y－5)，＝，

∵A，M，D三点共线，∴与共线．∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20，①

又∵＝，＝，C，M，B三点共线，

∴x－4＝0，即x－3y＋5＝0，②

由①②解得，x＝，y＝，∴点M的坐标为.

　由向量共线求交点坐标的方法

如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标．

解　∵与共线，故设＝λ＝(4λ，4λ)，

则＝(4λ－4,4λ)，＝(2－4，6－0)＝(－2,6)．

由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0.

解得λ＝.∴＝(4λ，4λ)＝(3,3)．故点P的坐标是(3,3)．

1．已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于(　　)

A.  B.  C．1  D．2

答案　A

解析　a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝.

2．设点P是P1(1，－2)，P2(－3,5)连线上一点，且＝－，则点P的坐标为(　　)

A．(5，－9)        B．(－9,5)      C．(－7,12)         D．(12，－7)

答案　C

解析　∵＝－，∴P2是P1P的中点，∴P(－7,12)．故选C.

3．已知A(3，－6)，B(－5,2)，且A，B，C三点在一条直线上，则C点的坐标不可能是(　　)

A．(－9,6)          B．(－1，－2)     C．(－7，－2)       D．(6，－9)

答案　C

解析　设C(x，y)，则＝(x－3，y＋6)，＝(－8,8)．

∵A，B，C三点在同一条直线上，∴＝，即x＋y＋3＝0，

将四个选项分别代入x＋y＋3＝0验证可知，不可能的是C.

4．与a＝(12,5)平行的单位向量为________．

答案　或

解析　设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，

则解得或

5．平面内给出三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，求解下列问题：

(1)求3a＋b－2c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.

解　(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(0,6)．

(2)∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，

∴∴

(3)∵a＋kc＝(3,2)＋k(4,1)＝(3＋4k,2＋k)，

2b－a＝2(－1,2)－(3,2)＝(－5,2)，

又(a＋kc)∥(2b－a)，

∴2(3＋4k)＝－5(2＋k)，

∴k＝－.