高中数学沪教版高中一年级 第一学期3.1函数的概念导学案

3.2函数关系的建立

一、教学内容分析

对于函数关系的建立,在初中阶段,要求学生通过解决现实生活中简单实际问题的举例,体会二次函数的基本应用和函数的模型思想,知道函数是描述客观世界的变化规律的重要数学模型.

高一数学第二章不等式2.4《基本不等式及其应用》拓展内容课题(一)“最大容积问题”()已经涉及建立函数关系.在本章《函数的基本性质》,进一步要求建立函数关系，求函数的最大、最小值;以后还要继续学习建立指数函数、对数函数模型解决实际问题.

在理解函数的概念之后,学习建立函数关系,能进一步发展学生把函数应用于实际问题的建模能力.

二、教学目标设计

 通过解决具有实际背景的简单问题，领会分析变量和建立函数关系的思考方法.

知道建立函数关系的步骤，体验函数模型建立的一般过程，加深对事物运动变化和相互联系的认识，初步会用函数观点去观察和分析一些自然现象和社会现象.

三、教学重点及难点

如何把应用问题转换为函数模型，并建立函数关系,求出符合实际的自变量的范围.

四、教学流程设计

五、教学过程设计

一、提出问题 引入新课

1．问题1.用一根长为的铁丝,制成如图所

示的框架,问如何设计,使得框架的面积最大.

2.分析:

通过审题,知道要解决这个问题,要把框架面积表示为某个变量的函数关系,先要设出适当的自变量,找出自变量与函数面积之间的的等量关系,然后才能知道如何设计.通常把这个过程叫做建模.

分析:设矩形框架的宽为,那么长为

面积=长宽,

所以,

              ,又且,

  ()

我们今天就先学习如何建立函数关系.

3.小结

建立函数关系解题的步骤:

(1)仔细审题,设出适当的自变量

(2)找出等量关系,列出函数关系式

(3)根据问题的要求,作适当的变形

(4)根据实际要求,写出函数定义域    [说明]

理解函数的概念,目的是进一步通过建立函数关系解决实际问题,从一个简单的实际问题1的提出,能引起学生的思考,学生能体会到要用数学方法解决这个实际问题时,首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出来.说明建立函数关系的重要性,对于函数的最值问题在以后的函数性质中再解决.

4.练习1．如图,一个边长为的长方形被

平行于边的两条直线所分割,其中长方形

的左上角是一个边长为的正方形,试用

解析式将图中的阴影部分的面积表示成的函数.

[说明]

（1）                   通过问题1的分析与解答，学生初步体验了建立函数关系的过程，知道函数模型建立的一般步骤，学生很想能自己尝试.可以把课本的例1作为学生的思考与练习，由学生自主解决，个别板演.

（2）要注意部分学生可能只写出关系式，没有给出定义域.教师要从函数的概念出发,让学生理解求出函数定义域的重要性.

二.例题分析 巩固方法

例1．           如图,有一圆柱形的无盖杯子,它的内

表面积是，试用解析式将杯子的容积

表示成底面内半径的函数.

1.思考与分析：

（1）内表面积=侧面面积+底面面积=底面的周长高+底面面积.

（2）圆柱体积=底面积高.

解：设杯子的高为，根据题意，得

，，于是

=.根据实际意义,自变量必须且,即.因此所求函数是   ().

[说明]

(1)对有一定难度的的实际问题,当难以找到变量与的直接关系;先列出问题中的等量关系,通过中间变量,可以使问题变得简单.

(2)建立函数关系包含函数的定义域,学生往往忽略了函数的定义域,本题中,学生容易理解,对于,可以根据 ,因为,所以;它的几何意义是杯子的底面面积小于内表面积.

例2.新世纪花园要建造一个直径为16米的圆形喷水池，计划在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，要求喷出的水柱在离池中心3米的地方达到最高，高度为4米，还要在池中心的上方设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，问这个装饰物的高度应如何设计.

 [说明]

本题是课本的例3，学生主要是根据力学原理，知道从喷水喷出的水柱是一条抛物线，要建立适当的坐标系，求水平距离与高度之间的抛物线的函数关系.

三、巩固练习

1．              把截面直径为40厘米的半圆形木料，锯成矩形木料，设矩形的一边长是厘米，将矩形的面积表示成边长的函数.

答：.

2、建造一个容积为，深为的长方体的游泳池（无盖），池璧造价为元 ,池底造价为元 ,把总造价元表示成底的一边长（）的函数.

答： （1）总造价底面造价+侧面造价=底面积+侧面积

（2）.

四、课堂小结

1．

2.建立函数关系的步骤:

(1)认真仔细审题,设出适当的自变量;

(2)找出等量关系,列出函数的关系式;

(3)根据问题要求,作适当的变形;

(4)根据实际要求,求出函数定义域.五、作业布置

课本练习；习题3.2

六、教学设计说明

通过对函数函数关系的建立内容的分析,教学过程中，根据学生的实际水平，选择适当的具有实际背景的问题，领会分析变量和建立函数关系的思考方法，是本课题教学的基本目标.

从实际问题出发,说明利用函数解决实际问题,建立函数关系是很重要的,而把实际问题转化为数学问题,许多学生中存在着畏难的情绪,所以,教学过程中要精心选择适当的问题,把问题解决分解为四个步骤,如何设出适当的自变量,找出变量之间的等式关系.例2中变量之间的关系仍不明确,进一步设出中间变量,通过代换,建立函数关系;确定例2函数的定义域,也是一个难点.所以,让学生从两种不同的角度理解如何求实际问题的定义域.