2020-2021学年4.6向量的应用教学设计

实数与向量的积（2）

教学目的：

1了解平面向量基本定理；

2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法；

3能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达

教学重点：平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示

教学难点：平面向量基本定理的理解

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向

2向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；

3零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量

4平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ

5相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量

6共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量

7向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

向量加法的三角形法则和平行四边形法则

8．向量加法的交换律：+=+

9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)

10．向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a  b = a + (b) 

11．差向量的意义： = a,  = b, 则= a  b

    即a  b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量

12．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ

（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=

13．运算定律  结合律：λ(μ)=(λμ)     

分配律：(λ+μ)=λ+μ      λ(+)=λ+λ     

14． 向量共线定理  向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ

二、讲解新课：(共面向量定理)

平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2

探究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被，，唯一确定的数量

三、讲解范例：

例1 已知向量，  求作向量25+3

作法：（1）取点O，作=25   =3

   （2）作 OACB，即为所求25+3

例2  如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和                                                  

解：在 ABCD中 ， ∵=+=+ ，==                                                                                                         

∴==(+)=，

==()=

==+

===+

例3已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，

求证：+++=4

  证明：∵E是对角线AC和BD的交点

        ∴== ,==

 在△OAE中，+=

同理  += ， += ，+=

以上各式相加，得  +++=4

例4如图，，不共线，=t (tR)用,表示

  解：∵=t 

∴=+=+ t                                                              

=+ t()=+ tt=(1t) + t                                                               

四、课堂练习：

1设e1、e2是同一平面内的两个向量,则有

Ae1、e2一定平行                    

Be1、e2的模相等

C同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)

D若e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)

2已知矢量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系

A不共线          B共线       C相等        D无法确定

3已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于

A3             B-3          C0          D2

4若a、b不共线,且λa+μb=0(λ,μ∈R)则λ=      ,μ=     

5已知a、b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1=   

6已知λ1＞0,λ2＞0,e1、e2是一组基底,且a=λ1e1+λ2e2,则a与e1_____,

a与e2_________(填共线或不共线)

参考答案：1D  2B  3A  4 0  0  5 0  6不共线  不共线

五、小结  平面向量基本定理，其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合

六、课后作业：

1．如图，平行四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，H、M是AD、DC之中点，F使BF＝BC，以ａ、ｂ为基底分解向量与

分析：以ａ，ｂ为基底分解与，实为用ａ与ｂ表示向量与

解：由H、M、F所在位置有：

=+=+=+=ｂ＋ａ，

＝－＝＋－

＝＋＝＋－＝ａ－ｂ

2．如图，O是三角形ABC内一点，PQ∥BC，且＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求与

分析：由平面几何的知识可得△APQ∽△ABC，且对应边的比为ｔ，∴＝ｔ，转化向量的关系为：＝ｔ，＝ｔ，又由于已知和未知向量均以原点O为起点，所以把有关向量都用以原点O为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在

解：∵PQ∥BC，且＝ｔ，有△APQ∽△ABC，且对应边比为ｔ（＝），即＝ｔ．

转化为向量的关系有：＝ｔ，＝ｔ，

又由于：＝－，＝－，

＝－，＝－

∴＝＋＝＋ｔ（－）

＝ａ＋ｔ（ｂ－ａ）＝（１－ｔ）ａ＋ｔｂ,

＝＋＝＋ｔ（－）

＝ｔ（с－ａ）＋ａ＝(１－ｔ）ａ＋ｔс

七、板书设计（略）

八、课后记：

1注意图形语言的应用

用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译

例1 如图，已知MN是△ABC的中位线，求证：MN＝BC且MN∥BC

分析：首先把图形语言：M、N是AB、AC的中点翻译成向量语言：＝，＝然后再把向量的一种语言转化为向量的另一种语言，即

＝－＝－

＝（－）＝

最后又将向量语言＝翻译成图形语言就是：MN＝BC且MN∥BC

2向量法应用

例2已知平行四边形ABCD，E、F分别是DC和AB的中点，求证：AE∥CF

证明：因为E、F为DC、AB的中点，

∴＝，＝，

由向量加法法则可知：

＝＋＝＋，＝＋＝＋

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴＝－，＝－，

∴＝－－＝－（＋）＝－

∴∥，∴AE∥CF

强化训练：

1下面向量a、b共线的有（   ）

(1)a=2e1,b=-2e2                (2)a=e1-e2,b=-2e1+2e2

(3)a=4e1-e2,b=e1-e2        (4)a=e1+e2,b=2e1-2e2 (e1、e2不共线)

A (2)(3)      B (2)(3)(4)    C (1)(3)(4)     D (1)(2)(3)(4)

2设一直线上三点A、B、P满足=λ(λ≠±1),O是空间一点,则用 、表示式为（   ）

A =+λ              B =λ+(1-λ)

C =                D

3若a、b是不共线的两向量,且=λ1a+b, =a+λ2b(λ1、λ2∈R),则A、B、C三点共线的充要条件为（    ）

Aλ1=λ2=-1    Bλ1=λ2=1     Cλ1λ2+1=0      Dλ1λ2-1=0

4若a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,则向量a写为λ1b+λ2c的形式是   

5已知两向量e1、e2不共线,a=2e1+e2,b=3e1-2λe2,若a与b共线,则实数λ=  

6设平面内有四边形ABCD和点O, =a, =b, =c,

=d,a+c=b+d,则四边形ABCD的形状是    

7设、不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且=(1-t) +t(t∈R),求证A、B、P三点共线

8当不为零的两个向量a、b不平行时,求使pa+qb=0成立的充要条件

9已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ、μ,使d=λa+μb与c共线?

参考答案：1A  2C  3D  4- b+c  5-   6平行四边形

7 (略)  8p=q=0    9存在,λ=-2μ能使d与c共线