中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第34讲 四边形、平行四边形、梯形（解析版）学案

这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第34讲 四边形、平行四边形、梯形（解析版）学案，共21页。学案主要包含了四边形的内角和定理及外角和定理，平行四边形，关于平行四边形的综合探究问题，等腰梯形的性质与判定等内容，欢迎下载使用。

 中考数学一轮复习讲义
考点三十四：四边形
聚焦考点☆温习理解
一、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
二、平行四边形
1、平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质
(1)平行四边形的邻角互补，对角相等。
(2)平行四边形的对边平行且相等。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
(3)平行四边形的对角线互相平分。
(4)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
3、平行四边形的判定
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
名师点睛☆典例分类
考点典例一、四边形的内角和及外角和
【例1】(2019•福建)已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【解析】360°÷36°=10，所以这个正多边形是正十边形．故选B．
【名师点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．
【举一反三】
(2018年湖北省宜昌市中考模拟试题(一))一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是(　　)
A. 17 B. 16 C. 15 D. 16或15或17
【答案】D
则多边形的边数是15，16，17．
故选D．
考点典例二、平行四边形的性质与判定
【例2】(2019▪广西池河)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是(　　)

A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF
【答案】B．
【解析】利用三角形中位线定理得到DEAC，结合平行四边形的判定定理进行选择．
∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEAC．
A.根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
B.根据∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．
C.根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
D.根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
【举一反三】
在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于__________．

【来源】山东省淄博市2018年中考数学试题
【答案】10
【解析】分析：要计算周长首先需要证明E、C、D共线，DE可求，问题得解．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，CD=AB=2
由折叠，∠DAC=∠EAC
∵∠DAC=∠ACB
∴∠ACB=∠EAC
∴OA=OC
∵AE过BC的中点O
∴AO=BC
∴∠BAC=90°
∴∠ACE=90°
由折叠，∠ACD=90°
∴E、C、D共线，则DE=4
∴△ADE的周长为：3+3+2+2=10
故答案为：10
点睛：本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质和三点共线的证明．解题时注意不能忽略E、C、D三点共线．
考点典例三、关于平行四边形的综合探究问题
【例题3】(2018四川省眉山市15分 ) 如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.

(1)求证：BN平分∠ABE；
(2)若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
(3)如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC.
【答案】(1)证明：∵AB=AC,
 ∴∠ABC=∠ACB,
又∵M为BC中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，
∴∠ABC+∠MAB=90°,
∵AC⊥BD，
在Rt△CBE中，
∴∠ACB+∠EBC=90°,
∴∠MAB=∠EBC,
又∵MB=MN，AM⊥BC，
∴△NBM为等腰直角三角形，
∴∠MBN=∠MNB=45°,
∴∠EBC+∠NBE=45°,∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°,
∵∠MAB=∠EBC,
∴∠NBE=∠ABN,
∴BN平分∠ABE.
(2)解：∵四边形DNBC为平行四边形，
设BM=CM=MN=a，则DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中，
∵
∴△ABN≌△DBN中(SAS)，
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，
∵BD=1，AB=AC=BD，
∴AB=1，
∴AM2+BM2=AB2 ，
∴(2a+a)2+a2=1，
解得：a= .
∴BC=2a= .
(3)解证明：∵MB=MN，M为BC中点，
∴MN=MB= BC，
又∵F是AB的中点，AB=AC=BD，
在Rt△ABM中，
∴MF=AF=BF= AB= BD，
∴∠MAB=∠FMN,
由(1)知∠MAB=∠EBC,
∴∠FMN=∠EBC,
又∵ ,
∴△MFN∽△BDC.
考点典例四、等腰梯形的性质与判定
如图，等腰梯形ABCD的周长为16，BC=4，CD=3，则AB=　　．

【答案】5.

【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，是基础知识要熟练掌握．
【举一反三】
如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=DC．则cos∠DPC的值是(　　)

　 A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，[来源:学科网ZXXK]
∴∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，
∵AB=AD=DC，
∴∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，
∴∠DAP=∠ABD=∠DBC，
∵∠BAC=∠CDB=90°，
∴3∠ABD=90°，
∴∠ABD=30°，
在△ABP中，
∵∠ABD=30°，∠BAC=90°，
∴∠APB=60°，
∴∠DPC=60°，
∴cos∠DPC=cos60°=．
故选A．


课时作业☆能力提升
一．选择题
1．在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是(　　)
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题
【答案】B
【解析】分析：充分利用角平分线的性质证明∠E=90°即可判断．
详解：如图，


点睛：本题考查的是直角三角形的判定，熟记有一个角是90°的三角形是直角三角形是解题的关键.
2. (浙江省宁波市四校2018届九年级上学期12月联考数学试卷)如图所示把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的正三角形，那么剪出的正三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是(　　)

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
【答案】D
【解析】由第二个图形可知：∠AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角，那么所剪出的平面图形是360°÷60°=6边形．
故选：D．
3. (2018•宁波)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为(　　)

A．50° B．40° C．30° D．20°
【答案】B
【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，
∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，
∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，
∴EO是△DBC的中位线，
∴EO∥BC，
∴∠1=∠ACB=40°．故选：B．
4. (2018年河南省驻马店市实验中学第一次中考模拟数学试题)如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF∶S△AOB的值为(　 　)

A. 1∶3 B. 1∶5 C. 1∶6 D. 1∶11
【答案】C

5. (2018·浙江省台州·4分)如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是(　　)

A． B．1 C． D．
【答案】B
【解答】解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠DCE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，
∴BE=BC=3，
∵AB=2，
∴AE=BE﹣AB=1，
故选：B．
6. (2018年湖北省宜昌市夷陵区东湖初级中学数学中考模拟试题(一))如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，则tan∠AEB的值等于(　　)

A. 3 B. 2 C. D.
【答案】A

则




故选A．

7. (浙江省宁波市四校2018届九年级上学期12月联考数学试卷)如图所示把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的正三角形，那么剪出的正三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是(　　)

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
【答案】D
【解析】由第二个图形可知：∠AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角，那么所剪出的平面图形是360°÷60°=6边形．
故选：D．
8. (2018•株洲市•3分)如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_____.

【答案】6
【解析】分析：根据BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根据AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到DN=AM=3，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM是等腰直角三角形，进而得到AP=AM=6．
详解：∵BD=CD，AB=CD，
∴BD=BA，
又∵AM⊥BD，DN⊥AB，
∴DN=AM=3，
又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，
∴∠P=∠PAM，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AP=AM=6，
故答案为：6．
9. (2018年河南省驻马店市实验中学第一次中考模拟数学试题)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E是CD的中点，将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图②，折痕为MN，连接ME，NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图③，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则下列结论：①ME∥HG；②△MEH是等边三角形；③∠EHG＝∠AMN；④tan∠EHG＝.其中正确的个数是(　 　)

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
如图2，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x．∵点E是CD的中点，AB=CD=，∴DE=CD=．在Rt△DEM中，∵DM2+DE2=EM2，∴()2+x2=(10﹣x)2，解得x=2.6，∴DM=2.6，AM=EM=7.4．∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，∴∠DEM=∠ENF．∵∠D=∠EFN=90°，∴△DME∽△FEN，∴，即，∴EN=，∴AN=，∴tan∠AMN==，∴tan∠EHG=，故④正确；
又∵tan60°=＞，∴∠AMN≠60°，即∠EMH≠60°，∴△MEH不是等边三角形，故②错误，∴正确的结论有3个．故选C．

二．填空题
10. 一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是________.
【来源】江苏省宿迁市2018年中考数学试卷
【答案】8
【解析】【分析】根据多边形的内角和公式，多边形外角和为360°，根据题意列出方程，解之即可.
【详解】设这个多边形边数为n，
∴(n-2)×180°=360°×3，
∴n=8，
故答案为：8.
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和公式、外角和为360度是解题的关键.
11.如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的__________º.

【答案】67.5.
【解析】
试题分析：∵正八边形的每个内角为，且该图案由8个全等的等腰梯形拼成，
∴.
考点：1.多边形内角和定理；2. 等腰梯形的性质.
12. 在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于__________．

【来源】山东省淄博市2018年中考数学试题
【答案】10
【解析】分析：要计算周长首先需要证明E、C、D共线，DE可求，问题得解．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，CD=AB=2
由折叠，∠DAC=∠EAC
∵∠DAC=∠ACB
∴∠ACB=∠EAC
∴OA=OC
∵AE过BC的中点O
∴AO=BC
∴∠BAC=90°
∴∠ACE=90°
由折叠，∠ACD=90°
∴E、C、D共线，则DE=4
∴△ADE的周长为：3+3+2+2=10
故答案为：10
点睛：本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质和三点共线的证明．解题时注意不能忽略E、C、D三点共线．
13. (2018•无锡)如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域(包括各边)内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是　 　．

【答案】2≤a+2b≤5．
【解答】解：过P作PH⊥OY交于点H，
∵PD∥OY，PE∥OX，
∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，
∴EP=OD=a，
Rt△HEP中，∠EPH=30°，
∴EH=EP=a，
∴a+2b=2(a+b)=2(EH+EO)=2OH，
当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；
当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即(a+2b)的最大值是5，
∴2≤a+2b≤5．

14. (2018•株洲市•3分)如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_____.

【答案】6
【解析】分析：根据BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根据AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到DN=AM=3，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM是等腰直角三角形，进而得到AP=AM=6．
详解：∵BD=CD，AB=CD，
∴BD=BA，
又∵AM⊥BD，DN⊥AB，
∴DN=AM=3，
又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，
∴∠P=∠PAM，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AP=AM=6，
故答案为：6．
三、解答题
15. 正方形ABCD的边长是5，点M是直线AD上一点，连接BM，将线段BM绕点M逆时针旋转90°得到线段ME，在直线AB上取点F，使AF＝AM，且点F与点E在AD同侧，连接EF，DF.
(1)如图1，当点M在DA延长线上时，求证：△ADF≌△ABM；
(2)如图2，当点M在线段AD上时，求证：四边形DFEM是平行四边形；
(3)在(2)的条件下，线段AM与线段AD有什么数量关系时，四边形EFDM的面积最大？并求出这个面积的最大值．

图1　　　　　　　　图2
【解析】：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAF＝∠BAM＝90°，AD＝AB.
在△ADF和△ABM中，

∴△ADF≌△ABM(SAS)．
(2)证明：延长BM交DF于K.
∵△ADF≌△ABM，
∴DF＝BM，∠ABM＝∠ADF.
∵EM＝BM，∴EM＝DF.
∵∠ABM＋∠AMB＝90°，∠AMB＝∠DMK，
∴∠ADF＋∠DMK＝90°.∴∠BKD＝90°.
∵∠EMB＝90°，∴∠EMB＝∠BKF＝90°.
∴EM∥DF.
∴四边形EFDM是平行四边形．
(3)设DM＝x，则AM＝AF＝5－x，
S▱EFDM＝DM·AF＝x(5－x)＝－(x－)2＋.
∵－1＜0，
∴x＝时，▱EFDM的面积最大，最大面积为，
即当AM＝AD时，▱EFDM的面积最大，最大面积为.

16. (吉林省长春市2018-7-2018学年度下学期名校调研系列卷——九年级数学综合测试(市命题))如图，在长方形中， 是边上一动点，连接，过点作的垂线，垂足为，交于点，交于点.
(1)当＝，且是的中点时，求证： ＝.
(2)在(1)的条件下，求的值；
(3)类比探究：若＝3， ＝2，则＝ .

【答案】(1)详见解析；(2).
∴∠ABF=∠DAG,所以AB=DA,所以△ABP△DAG,
∴AG=BP.
(2)由(1)AP=DG,AP=AD,DG=AD, ∴AB , ∴△DGE△BAE,∴.
(3)设AD=1,AB=3,DG=类比(2)可得∴△DGE△BAE,所以.
故答案为.
点睛：本题利用题目中的原理迁移解决问题，通过改变条件，要抓住哪些条件变与哪些原理不变的核心，解题利用了相似的性质，矩形的性质，从而得到结果.
17. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．

【来源】江苏省连云港市2018年中考数学试题
【答案】(1)证明见解析；(2)BC=2CD，理由见解析.
【解析】分析：(1)利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
(2)先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．
详解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；

点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
18. (2018四川省眉山市15分 ) 如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.

(1)求证：BN平分∠ABE；
(2)若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
(3)如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC.
【答案】(1)证明：∵AB=AC,
 ∴∠ABC=∠ACB,
又∵M为BC中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，
∴∠ABC+∠MAB=90°,
∵AC⊥BD，
在Rt△CBE中，
∴∠ACB+∠EBC=90°,
∴∠MAB=∠EBC,
又∵MB=MN，AM⊥BC，
∴△NBM为等腰直角三角形，
∴∠MBN=∠MNB=45°,
∴∠EBC+∠NBE=45°,∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°,
∵∠MAB=∠EBC,
∴∠NBE=∠ABN,
∴BN平分∠ABE.
(2)解：∵四边形DNBC为平行四边形，
设BM=CM=MN=a，则DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中，
∵
∴△ABN≌△DBN中(SAS)，
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，
∵BD=1，AB=AC=BD，
∴AB=1，
∴AM2+BM2=AB2 ，
∴(2a+a)2+a2=1，
解得：a= .
∴BC=2a= .
(3)解证明：∵MB=MN，M为BC中点，
∴MN=MB= BC，
又∵F是AB的中点，AB=AC=BD，
在Rt△ABM中，
∴MF=AF=BF= AB= BD，
∴∠MAB=∠FMN,
由(1)知∠MAB=∠EBC,
∴∠FMN=∠EBC,
又∵ ,
∴△MFN∽△BDC.