中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第27讲 等腰三角形（原卷版）学案

这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第27讲 等腰三角形（原卷版）学案，共11页。学案主要包含了等腰三角形，等腰三角形的多解问题，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质运用等内容，欢迎下载使用。
中考数学一轮复习讲义考点二十七：等腰三角形 聚焦考点☆温习理解一、等腰三角形1、等腰三角形的性质(1)等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。(2)等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可为钝角(或直角)。③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：等角对等边)。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。二.等边三角形1.定义三条边都相等的三角形是等边三角形.2.性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°3.判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.三.线段垂直平分线1.定义垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.2.性质线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等3.判定到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.名师点睛☆典例分类考点典例一、等腰三角形的性质【例1】(2019•浙江杭州•8分)如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数． 【举一反三】如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是(　　)A. 20°    B. 35°    C. 40°    D. 70°  考点典例二、等腰三角形的多解问题【例2】(2018黑龙江绥化中考模拟)在等腰中，交直线于点，若，则的顶角的度数为          ．  【举一反三】(湖南省衡阳市2017-2018学年八年级上期末模拟)等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是(  )A. 35°        B. 20°         C. 35°或20°          D. 无法确定 考点典例三、等边三角形的性质与判定【例3】(2019▪黑龙江哈尔滨)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD.CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为　　． 【举一反三】(重庆市江津区2017-2018学年八年级上学期期末模拟)如图所示，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，Q为AC上一点，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则对下面四个结论判断正确的是(      ) ①点P在∠BAC的平分线上， ②AS=AR，  ③QP∥AR， ④△BRP≌△QSP.A. 全部正确;    B. 仅①和②正确;    C. 仅②③正确;    D. 仅①和③正确  考点典例四、线段垂直平分线的性质运用【例3】．(2019•攀枝花)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．求证：(1)点D在BE的垂直平分线上；(2)∠BEC＝3∠ABE． 【举一反三】(2018广西钦州市中考模拟)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长(大于AB)为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC=3，AB=5，则DE等于(    ) A. 2    B.     C.     D.   课时作业☆能力提升一、选择题1. (2018年湖北省松滋市中考模拟试题(一))如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40，24，则AB为(　　)A. 8    B. 12    C. 16    D. 20 2. (2018黑龙江大庆)如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为(  ) A. 30°    B. 15°    C. 45°    D. 25°  3. (2019•浙江衢州•3分)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是(     )  A. 60°   B. 65°    C. 75°    D. 80° 4. (2019•天水)如图，等边的边长为2，则点的坐标为A． B．
C． D．  5. (2019•滨州)如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为A．4     B．3    C．2    D．1 6．在平面直角坐标系中，点A(，)，B(，)，动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为(　　)A．2      B．3      C．4      D．5 7.(浙江省上杭县2019学年模拟)如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD为△ABC的中线，那么下列结论错误的是(  ) A. △ABD≌△ACD     B. AD为△ABC的高线    C. AD为△ABC的角平分线     D. △ABC是等边三角形 二、填空题8. (2018广州市黄埔区中考数学一模)如图，已知△ABC和△AED均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AB相交于点F，如果AC=12，CD=4，那么BF的长度为_       _  ．  9. （2019•重庆A卷）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC′沿BD翻折，得到，DC与AB交于点E，连接，若AD=AC′=2，BD=3则点D到BC的距离为A．    B．   C．    D． ∵，∴，∴，故选B．10. ((2019▪黑龙江哈尔滨▪3分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD.CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为　　． 11. (2019四川巴中)如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝　            　．   12. (浙师大附属秀洲实验学校2017-2018学年九年级下学期第三次模拟)已知□ABCD中，AB=4， 与的角平分线交AD边于点E，F，且EF=3，则边AD的长为_______． 13. (2017新疆建设兵团第15题)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC=∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S=AC•BD．正确的是　   　(填写所有正确结论的序号) 14. (2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________． 15. (2019•南通)如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度． 16. (2019四川自贡)如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos(α+β)＝　            　．   三、解答题17. (2019•苏州)如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．(1)求证：；(2)若，，求的度数． 19. 如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°．(1)求证：OB=DC；(2)求∠DCO的大小；(3)设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形．   20. (2017内蒙古呼和浩特)如图，等腰三角形中，，分别是两腰上的中线．(1)求证：；(2)设与相交于点，点，分别为线段和的中点．当的重心到顶点的距离与底边长相等时，判断四边形的形状，无需说明理由．  21. （山东省淄博市2018年）(1)操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是__________；位置关系是__________．(2)类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．(3)深入研究：如图③，小明在(2)的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．