中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第30讲 图形的轴对称（解析版）学案

这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第30讲 图形的轴对称（解析版）学案，共26页。学案主要包含了识别轴对称图形，作已知图形的轴对称图形，轴对称性质的应用，折叠问题等内容，欢迎下载使用。
 中考数学一轮复习讲义
考点三十：图形的轴对称
聚焦考点☆温习理解
1．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点．
2．图形轴对称的性质
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任意一对对应点所连线段的垂直平分线．对应线段、对应角相等．
3．由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．这样，由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．一个轴对称图形可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换而成．学科！网
4. 轴对称与轴对称图形
轴对称图形和图形的轴对称之间的的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而图形的轴对称是说两个图形之间的位置关系；
两者之间的联系是：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系．
名师点睛☆典例分类
考点典例一、识别轴对称图形
【例1】(2019•四川省达州市•3分)剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，轴对称图形是(　　)
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念进而判断求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．
2. (2019•云南)下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、此图形旋转180°后能与原图形不重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
故选B．
【名师点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
考点典例二、作已知图形的轴对称图形
【例2】(2019•广西北部湾•8分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2，－1)、B(1，－2)、C(3，－3).
(1)将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1;
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2;
(3)请写出A1、A2的坐标.


【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；

(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求；

(3)A1(2，3)，A2(-2，-1)．
【解析】

(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；
(3)利用所画图象得出对应点坐标．
此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
【举一反三】
(2018内蒙古呼和浩特中考模拟)如图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形，都是这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是( )

A．(1) B．(2) C．(3) D．(4) [来源:Z,xx,k.Com]
【答案】A
【解析】
试题分析：∵轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，∴通过轴对称得到的是(1)．
故选A．
考点：轴对称图形．
考点典例三、轴对称性质的应用
【例3】(2018•宜宾模拟)如图，在对角线长分别为12和16的菱形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，H是对角线BD上的任意一点，则HE+HF的最小值是　　．

【答案】10
【解析】试题分析：要求HE+HF的最小值，HE、HF不能直接求，可考虑通过作辅助线转化HE、HF的值，从而找出其最小值求解．
试题解析：如图：
作EE′⊥BD交BC于E′，连接E′F，连接AC交BD于O．
则E′F就是HE+HF的最小值，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴E′FAB，
而由已知△AOB中可得AB====10，
故HE+HF的最小值为10．
故答案为：10．

点睛：考查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用．
【举一反三】
(2018江苏扬州中考模拟)如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕(如图①)，点为其交点.
(1)探求与的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，若分别为上的动点.
①当的长度取得最小值时，求的长度；
②如图③，若点在线段上，，则的最小值= .

【答案】(1)AO=2OD，理由见解析；(2)①；②.
【解析】
(3)如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．根据轴对称的定义得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，解直角三角形即可得到结论．
试题解析：(1)AO=2OD，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，
∴AO=OB，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠BDO=90°，
∴OB=2OD，
∴OA=2OD；
(2)如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，

则此时PN+PD的长度取得最小值，
∵BE垂直平分DD′，
∴BD=BD′，
∵∠ABC=60°，
∴△BDD′是等边三角形，
∴BN=BD=，
∵∠PBN=30°，
∴，
∴PB=；
(3)如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，
连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．

根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，
∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，
∴∠D′BQ′=90°，
∴在Rt△D′BQ′中，
D′Q′=．
∴QN+NP+PD的最小值=
考点典例四、折叠问题
【例4】(2019浙江丽水3分)将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是(　　)

A． B．﹣1 C． D．
【分析】连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，根据剪纸的过程以及折叠的性质得PH＝MF且正方形EFGH的面积＝×正方形ABCD的面积，从而用a分别表示出线段GF和线段MF的长即可求解．
【解答】解：连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：

由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PH＝MF，
设正方形ABCD的边长为2a，
则正方形ABCD的面积为4a2，
∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等
∴由折叠可知正方形EFGH的面积＝×正方形ABCD的面积＝，
∴正方形EFGH的边长GF＝＝
∴HF＝GF＝
∴MF＝PH＝＝a
∴＝a÷＝
故选：A．
【点评】本题主要考查了剪纸问题、正方形的性质以及折叠的性质，由剪纸的过程得到图形中边的关系是解题关键．
【举一反三】
1. 如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则下列结论一定正确的是( )

A. B.
C. D.
【来源】天津市2018年中考数学试题
【答案】D

点睛：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
2. (2018湖北黄冈中考模拟)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为 .学科*网

【答案】-1．
【解析】
试题分析：如图所示：过点M作MF⊥DC于点F，

∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=MD=，
∴FM=DM×cos30°=，
∴MC=，
∴EC=MC-ME=-1．
考点：1.折叠问题；2.菱形的性质．
课时作业☆能力提升
1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【来源】天津市2018年中考数学试题
【答案】A

点睛：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．
2.【湖北省孝感市孝南区2018届九年级第三次学业水平调研考试数学试题】有一条直的宽纸带折叠成如图所示，则∠1的度数为

A．50° B．65°
C．70° D．75°
【答案】D
【解析】∵AB∥CD，

∴根据折叠得出
∵∴故选D．
【名师点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质的应用，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．
3．(2019•贵阳)如图，在3×3的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色的小正方形(每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同)，使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，当1，2两个分别涂成灰色，新构成灰色部分的图形是轴对称图形，
故新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是：=．故选D．

【名师点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
4．将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是( )

A. B. C. D.
【来源】2018年浙江省舟山市中考数学试题
【答案】A
【解析】【分析】根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠, 展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上, 根据③的剪法，中间应该是一个正方形.
【解答】根据题意，两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据③的剪法，展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上,而且中间应该是一个正方形.
故选A．
【点评】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，如本题得到展开后的图形的顶点在正方形的对角线上是解题的关键．
5. (2018新疆乌鲁木齐中考模拟)如图，点都在双曲线上，点，分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为( )

A． B． C. D．
【答案】B．
【解析】
试题解析：分别把点A(a，3)、B(b，1)代入双曲线y=得：a=1，b=3，
则点A的坐标为(1，3)、B点坐标为(3，1)，
作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，

所以点P坐标为(﹣1，3)，Q点坐标为(3，﹣1)，
连结PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小，
四边形ABCD周长=DA+DC+CB+AB
=DP+DC+CQ+AB
=PQ+AB
=
=4+2
=6，
故选B．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；轴对称﹣最短路线问题．
6. (2019•河北)如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为

A．10 B．6 C．3 D．2
【答案】C
【解析】如图所示，n的最小值为3，故选C．

【名师点睛】本题主要考查利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．
7. (2017重庆A卷第18题)如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是　 　．

【答案】
【解析】
试题解析：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，

∵DC∥AB，
∴PQ⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴PE=PC，
设PC=x，则PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x，
∴PD=EQ，
∵∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ，
∴△DPE≌△EQF，
∴DE=EF，
易证明△DEC≌△BEC，
∴DE=BE，
∴EF=BE，
∵EQ⊥FB，
∴FQ=BQ=BF，
∵AB=4，F是AB的中点，
∴BF=2，
∴FQ=BQ=PE=1，
∴CE=，
Rt△DAF中，DF=，
∵DE=EF，DE⊥EF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=EF=，
∴PD==3，
如图2，

∵DC∥AB，
∴△DGC∽△FGA，
∴，
∴CG=2AG，DG=2FG，
∴FG=，
∵AC=，
∴CG=，
∴EG=，
连接GM、GN，交EF于H，
∵∠GFE=45°，
∴△GHF是等腰直角三角形，
∴GH=FH=，
∴EH=EF﹣FH=，
∴∠NDE=∠AEF，
∴tan∠NDE=tan∠AEF=，
∴，
∴EN=，
∴NH=EH﹣EN=，
Rt△GNH中，GN=，
由折叠得：MN=GN，EM=EG，
∴△EMN的周长=EN+MN+EM=．
考点：1.折叠；2.正方形的性质.
8．(2018•松江区一模)如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，将△ABC翻折，使得点A落在BC的中点A'处，折痕分别交边AB、AC于点D、点E，那么AD：AE的值为　　．

【答案】
∴A′C=A′B=2，AA′==2，AB=4，
∴AM=AA′=，A′N=BN=，
∴AN=AB﹣BN=3．
∵∠EAM=∠A′AC，∠AME=∠C，
∴△AEM∽△AA′C，
∴=，
∴AE=．
同理：△ADM∽△AA′N，
∴=，
∴AD=，
∴=．
故答案为：．

点睛：本题考查了折叠的性质、勾股定理以及相似三角形的判定及性质，利用相似三角形的性质求出AD、AE的长度是解题的关键．
9. (2018•河南一模)如图，在三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，将△ABC折叠，使点B落在边AC上点D (不与点A重合)处，折痕为PQ，当重叠部分△PQD为等腰三角形时，则AD的长为　　．

【答案】2或2﹣2
符合题意．
试题解析：①PD=DQ时，BP=BQ，
由翻折变换得，BP=PD，BQ=DQ，
所以，BP=BQ=PD=DQ，
所以，四边形BQDP是菱形，
所以，PD∥BC，BP∥DQ，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴△APD和△CDQ都是等腰直角三角形，
在Rt△APD中，PD=AD，
在Rt△CDQ中，CD=DQ，
∵PD=DQ，
∴CD=AD，
∵AC=AD+CD，
∴AD+AD=2，
解得AD=2﹣2；

所以，△BPQ是等腰直角三角形，
所以，点B与点A重合，
此时，点B与点A重合，不符合题意，舍去；
综上所述，AD的长度为2或2﹣2．
故答案为：2或2﹣2．
点睛：本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，综合题，难点在于分情况讨论．学/科
10.如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为 ．

【答案】．
【解析】
试题分析：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD=，BD=CD=1，BB′=2AD=，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G=AD=，
在Rt△B′BG中，BG===3，∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，
在Rt△B′DG中，BD===．故BE+ED的最小值为．

考点：1．轴对称-最短路线问题；2．等边三角形的性质；3．最值问题；4．综合题．
11. (2018•青浦区一模)如图，在△ABC中，AB=7，AC=6，∠A=45°，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿着DE所在直线翻折，点B落在点P处，PD、PE分别交边AC于点M、N，如果AD=2，PD⊥AB，垂足为点D，那么MN的长是　　．

【答案】
∴∠BDP=90°，∠EDB=∠EDP=∠A=45°，
∴DE∥AC，
∴=，
∴=
∴DE=，
∵AD=AM=2，DB=DP=5，
∴PM=3，
∴=，
∴=，
∴MN=，
故答案为．

点睛：本题考查翻折变换、平行线的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12. 如图，P，Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形．

(1)在图1中画出一个面积最小的¨PAQB；
(2)在图2中画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到．注：图1，图2在答题纸上．
【来源】浙江省温州市2018年中考数学试卷
【答案】(1)画图见解析；(2)画图见解析.

详解:
(1)

(2)

点睛: 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换.
13. (2017辽宁大连第25题)如图1，四边形的对角线相交于点，，，，.
(1)填空：与的数量关系为 ；
(2)求的值；
(3)将沿翻折，得到(如图2)，连接，与相交于点.若，求的长.

【答案】(1)∠BAD+∠ACB=180°；(2)；(3)1.
(3)如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得，可得，即，由此即可解决问题；
试题解析：(1)如图1中，

在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ABD+∠ADB=∠ACB，
∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案为∠BAD+∠ACB=180°．
(2)如图1中，作DE∥AB交AC于E．
∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，
∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，
∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，
∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，
∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，
∴，∴，
∴4y2+2xy﹣x2=0，∴，
∴(负根已经舍弃)，∴．
(3)如图2中，作DE∥AB交AC于E．

由(1)可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，
∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，
∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，
∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC，
∴△PA′D∽△PBC，
∴，
∴，即
∴PC=1．
考点：相似三角形的判定和性质；解一元二次方程；三角形的内角和定理.
14. (2018贵州遵义中考模拟)如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点.
(1)利用尺规作图，确定当最小时点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹).
(2)求的最小值.

【答案】(1)详见解析；(2)2.
试题分析：(1)画出A点关于MN的称点,连接B,就可以得到P点; (2)利用得∠AON=∠=60°，又为弧AN的中点,∴∠BON=30°，所以∠ON=90°，再求最小值．
试题解析：
(1)如图，点P即为所求作的点.

(2)由(1)可知，的最小值为的长，
连接,OB、OA
∵A点关于MN的称点，∠AMN=30°，
∴
又∵为的中点
∴
∴
∴
又∵MN=4
∴
在Rt△中， [来源:学_科_网]
即的最小值为2.

考点：圆，最短路线问题．

16. (2019·山东日照)如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG=CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F(点E不与点A、B重合)．
(1)求证：四边形EHFG是平行四边形；
(2)若∠α=90°，AB=9，AD=3，求AE的长．

【解析】(1)∵对角线AC的中点为O，
∴AO=CO，且AG=CH，∴GO=HO，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，且CO=AO，∠FOC=∠EOA，
∴△COF≌△AOE(ASA)，∴FO=EO，且GO=HO，
∴四边形EHFG是平行四边形；
(2)如图，连接CE，

∵∠α=90°，∴EF⊥AC，且AO=CO，
∴EF是AC的垂直平分线，∴AE=CE，
在Rt△BCE中，CE2=BC2+BE2，∴AE2=(9–AE)2+9，∴AE=5．