中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第22讲 平面基础知识（解析版）学案

中考数学一轮复习讲义

考点二十二：平面几何基础

聚焦考点☆温习理解

一、直线、射线和线段

 1、直线的概念

一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。

2、射线的概念

直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。

3、线段的概念

直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。

4、直线的性质

(1)直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。

(2)过一点的直线有无数条。

(3)直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。

(4)直线上有无穷多个点。学！科网

(5)两条不同的直线至多有一个公共点。

5、线段的性质

(1)线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。

(2)连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。

(3)线段的中点到两端点的距离相等。

(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

6、线段垂直平分线的性质定理及逆定理

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

二、相交线

1、相交线中的角

两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。

临补角互补，对顶角相等。

直线AB，CD与EF相交(或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截)，构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。

2、垂线

两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。学+科网

直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”)。

垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

三、平行线

    1、平行线的概念

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。

同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。

2、平行线公理及其推论

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

3、平行线的判定

平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。

平行线的两条判定定理：

(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。

(2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。

4、平行线的性质

(1)两直线平行，同位角相等。

(2)两直线平行，内错角相等。

(3)两直线平行，同旁内角互补。

四、命题、定理、证明

    1、命题的概念

判断一件事情的语句，叫做命题。

2、命题的分类：按正确、错误与否分为：真命题和假命题

所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

3、公理

人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

4、定理

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

5、证明

判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

名师点睛☆典例分类

考点典例一、直线、射线、线段

【例1】(2017贵州黔南州)如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是(　　)

A. 两点之间，线段最短    B. 两点确定一条直线

C. 垂线段最短    D. 过一点有且只有一条直线和已知直线平行

【答案】B

【解析】

解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法运用到的数学原理是：两点确定一条直线．故选B．

【点睛】根据公理“两点确定一条直线”，来解答即可.

【举一反三】

(广东省广州市白云区2017届九年级下学期第一次模拟)下列各种图形中，可以比较大小的是()

A. 两条射线    B. 两条直线    C. 直线与射线    D. 两条线段

【答案】D

【解析】根据线段的性质，易得D.

考点典例二、线段的计算

【例2】(2019·贵州贵阳·3分)数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值是(　　)

A．3 B．4.5 C．6 D．18

【分析】根据题意列方程即可得到结论．

【解答】解：∵数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，

∴9﹣a＝2a﹣9，

解得：a＝6，

故选：C．

【点评】本题考查了两点间的距离：两点间的连线段长叫这两点间的距离．也考查了数轴．

【举一反三】

(重庆市江津区2017-2018学年六校联考)已知线段AB=8cm，在直线AB上截取线段AC=2cm，则线段BC=_________cm.

【答案】6或10

考点：线段的计算．

【点晴】根据题意要分类讨论，一是点C在线段AB上；二是点C在线段BA的延长线上，解答时要分别画出图形分别解答.

考点典例三、平行线

【例3】(2019•海南•3分)如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1的大小为(　　)

A．20° B．35° C．40° D．70°

【分析】根据平行线的性质解答即可．

【解答】解：∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C，

∴AC＝AB，

∴∠CBA＝∠BCA＝70°，

∵l1∥l2，

∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°，

∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，

故选：C．

【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．

【举一反三】

如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为(   )

A.     B.     C.     D.

【来源】山东省泰安市2018年中考数学试题

【答案】A

【解析】分析：依据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，进而得出结论．

详解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得：∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°．

 故选A．

点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．

12．如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是(　　)

A. ∠2    B. ∠3    C. ∠4    D. ∠5

【来源】浙江省衢州市2018年中考数学试卷

【答案】C

点睛：本题考查了同位角问题，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解．

考点典例四、命题与定理

【例4】(2019•湖南岳阳•3分)下列命题是假命题的是(　　)

A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 

B．同角(或等角)的余角相等 

C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 

D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分

【分析】由平行四边形的性质得出A是假命题；

由同角(或等角)的余角相等，得出B是真命题；

由线段垂直平分线的性质和正方形的性质得出C.D是真命题，即可得出答案．

【解答】解：A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；

B．同角(或等角)的余角相等；真命题；

C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题；

D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；

故选：A．

【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

【举一反三】

(2018广西百色中考模拟)下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，基中假命题的有                  (填序号)．

【答案】②

考点：命题与定理

课时作业☆能力提升

一．选择题

1．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于(     )

A.3        B.2         C.3或5         D.2或6

【答案】D．

【解析】

试题分析：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．

∵点A、B表示的数分别为﹣3、1，∴AB=4．

第一种情况：在AB外，如答图1，AC=4+2=6；

第二种情况：在AB内，如答图2，AC=4﹣2=2．

故选D．

考点：1.两点间的距离；2.数轴；3.分类思想和数形结合思想的应用．

2. (2019•湖州)已知∠α＝60°32′，则∠α的余角是(　　)

A．29°28′ B．29°68′ C．119°28′ D．119°68′

【答案】解：∵∠α＝60°32′，

∠α的余角是为：90°﹣60°32′＝29°28′，

故选：A．

【点睛】本题考查的是余角和补角，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．

3. 如图，直线，直线与直线，分别相交于、两点，过点作直线的垂线交直线于点，若，则的度数为(   )

A.     B.     C.     D.

【来源】贵州省安顺市2018年中考数学试题

【答案】C

【解析】分析：根据直角三角形两锐角互余得出∠ACB=90°-∠1，再根据两直线平行，内错角相等求出∠2即可．

详解：∵AC⊥BA，

∴∠BAC=90°，

∴∠ACB=90°-∠1=90°-58°=32°，

∵直线a∥b，

∴∠ACB=∠2，

∴∠2=∠ACB=32°.

故选C．

点睛：本题考查了对平行线的性质和三角形内角和定理的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补

4. (2017福建宁德)如图，点M在线段AB上，则下列条件不能确定M是AB中点的是(　　)

A. BM=AB    B. AM+BM=AB    C. AM=BM    D. AB=2AM

【答案】B

考点：线段中点的定义.

5. (2017-2018苏科版南京栖霞区月考)给出下列说法：①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫作两点间的距离；③两点之间，线段最短；④若AB=BC，则点B是线段AC的中点；⑤射线AB和射线BA是同一条射线；⑥直线有无数个端点．其中正确的个数是    (    )

A. 2    B. 3    C. 4    D. 5

【答案】A

【解析】①过两点有且只有一条直线，正确；

②连接两点的线段叫作两点间的距离，错误，少了长度；

③两点之间，线段最短，正确；

④若AB=BC，则点B是线段AC的中点，错误，需要结合图形确定；

⑤射线AB和射线BA是同一条射线，错误，它们的端点不同；

⑥直线有无数个端点，错误，直线没有端点．

故选A.

6. (浙江省嘉兴市秀洲区高照实验学校2017-2018学年月考)下列语句中，是命题的是(     )

A. 作线段AB的中垂线    B. 作的平分线

C. 直角三角形的两锐角互余    D. 与相等吗？

【答案】C

7. 如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于(　　)

A. 112°    B. 110°    C. 108°    D. 106°

【来源】浙江省衢州市2018年中考数学试卷

【答案】D

点睛：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．

8. (江苏省无锡市前洲中学2017-2018学年月考)已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是(　　)

A. AC=BC    B. AB=2AC    C. AC+BC=AB    D. BC=AB

【答案】C

【解析】试题分析：A、AC＝BC，则点C是线段AB中点；

B、AB＝2AC，则点C是线段AB中点；

C、AC＋BC＝AB，则C可以是线段AB上任意一点；

D、BC＝AB，则点C是线段AB中点．

故选C．

9. (2019•甘肃•3分)如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是(　　)

A．48° B．78° C．92° D．102°

【答案】D

【解答】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，

∴∠2＝∠3＝180°﹣48°﹣30°＝102°．

故选：D．

10(2017-2018学年陕西安市爱知初级中学九年级(上)期末数学试卷)如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点(点E不在直线AB、CD、AC上)，设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是(　　)

A. ①②③    B. ①②④    C. ①③④    D. ①②③④

【答案】D

【解析】试题解析：点有4种可能位置．

(1)如图，由∥ 可得

(2)如图，过 作平行线，则由∥可得

(3)如图，由∥可得

(4)如图，由∥可得

的度数可能为

故选：D．

11. (2019▪贵州毕节)如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是

A．线段CA的长度  B．线段CM的长度

C．线段CD的长度  D．线段CB的长度

【答案】C

【解析】点C到边AB所在直线的距离是点C到直线AB的垂线段的长度，而CD是点C到直线AB的垂线段，故选C．

【名师点睛】本题考查的是点到直线的距离的定义，选项中都有长度二字，只要知道是垂线段就比较好解．

二．填空题

12. (2018•宜宾模拟)如图，直线a∥b，∠P=75°，∠2=30°，则∠1=　45°　．

【答案】45°．

∵∠2=30°，

∴∠EPM=∠2=30°，

又∵∠EPF=75°，

∴∠FPM=45°，

∴∠1=∠FPM=45°，

故答案为：45°．

点睛：本题考查了平行线的性质的应用，能正确根据平行线的性质进行推理是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．

14. (2018湖南株洲中考模拟)命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为：      ．

【答案】“如果m是有理数，那么它是整数”．

【解析】

试题分析：命题：“如果m是整数，那么它是有理数”的逆命题为“如果m是有理数，那么它是整数”．

故答案为：“如果m是有理数，那么它是整数”．

考点：命题与定理．

15. (2018内蒙古呼和浩特一模)下面三个命题：

①若是方程组的解，则或；

②函数通过配方可化为；

③最小角等于的三角形是锐角三角形．

其中正确命题的序号为          ．

【答案】②③

考点：命题与定理．

16. (2019•湖南湘西州)如图，直线a∥b，∠1=50°，∠2=40°，则∠3的度数为

A．40° B．90° C．50° D．100°

【答案】B

【解析】∵a∥b，∴∠4=∠1=50°，∵∠2=40°，∴∠3=90°，故选B．

17. 将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1=40°，则∠2=________．

【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题

【答案】85°

【解析】分析：直接利用三角形外角的性质结合平行线的性质得出答案．

详解：如图，

点睛：此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．

18. (山东省潍坊高新技术产业开发区2017-2018学年期末)如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他应该走第________ 条路，其中的道理是________ ．

【答案】  ②  两点之间线段最短

【解析】解：∵小明到小颖家的四条路中只有②是线段，∴第②条路最近，故他应该走第②条路，其中的道理是：两点之间线段最短．故答案为：②，两点之间线段最短．

点睛：本题考查的是线段的性质，熟知“两点之间线段最短”的知识是解答此题的关键．

19. (甘肃省武威市民勤实验中学2017-2018学年期末)已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是____________.

【答案】3cm或7cm

如图2，线段BC在线段AB上时，MN=BM-BN=5-2=3cm，

综上所述，线段MN的长度是7cm或3cm．

20. (广州市从化区从化七中2018学年度期末)如图所示，线段AB=8cm，E为线段AB的中点，点C为线段EB上一点，且EC=3cm，点D为线段AC的中点，求线段DE的长度．

【答案】0.5cm.

【解析】试题分析：根据线段AB=8cm，E为线段AB的中点，得到所以BC=BE−EC=4−3=1cm，从而求得AC=AB−BC=8−1=7cm，又点D为线段AC的中点，所以 根据即可解答．

试题解析：

∵线段AB=8cm，E为线段AB的中点，

∵点D为线段AC的中点，