中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第15讲 二次函数（解析版）学案

这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第15讲 二次函数（解析版）学案，共31页。学案主要包含了二次函数的概念和图像，二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的性质，二次函数图象与平移变换，二次函数的综合题等内容，欢迎下载使用。
 中考数学一轮复习讲义
考点十五：二次函数
聚焦考点☆温习理解
一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
3、二次函数图像的画法
五点法：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
(2)求抛物线与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式：
(2)顶点式：
(3)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当时，。
如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。
四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
2、二次函数中，的含义：
表示开口方向：>0时，抛物线开口向上, 0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当0)与y轴相交于点C，它的一条“伴随抛物线”为L2，抛物线L2与y轴相交于点D，若CD＝4m，求抛物线L2的对称轴．

【答案】(1)y＝(x－4)2－3(2)伴随抛物线的顶点不重合，∴m≠h，∴a1＝－a2(3)抛物线L2的对称轴为x＝±2.
(3)易得抛物线L1的顶点坐标为(1，－4m)，设抛物线L2的顶点的横坐标为h，则其纵坐标为mh2－2mh－3m，则有抛物线L2的表达式为y＝－mx2＋2mhx－2mh－3m，从而得点D的坐标为(0，－2mh－3m)，再根据点C的坐标为(0，－3m)，从而可得|(－2mh－3m)－(－3m)|＝4m，解得h＝±2，从而得抛物线L2的对称轴为x＝±2.
试题解析：(1)由y＝－x2＋4x－3可得A的坐标为(2，1)，
将x＝4代入y＝－x2＋4x－3，得y＝－3，∴B的坐标为(4，－3)，
设抛物线L2的解析式为y＝a(x－4)2－3； 将(2，1)代入y＝a(x－4)2－3，
得1＝a(2－4)2－3，解得a＝1，
∴抛物线L2的表达式为y＝(x－4)2－3；
(2)a1＝－a2，理由如下：
∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上，
∴可列方程组： ，
整理，得(a1＋a2)(m－h)2＝0，
∵伴随抛物线的顶点不重合，∴m≠h，∴a1＝－a2；
(3)抛物线L1：y＝mx2－2mx－3m的顶点坐标为(1，－4m)，
设抛物线L2的顶点的横坐标为h，则其纵坐标为mh2－2mh－3m，
∴抛物线L2的表达式为y＝－m(x－h)2＋mh2－2mh－3m，
化简得，y＝－mx2＋2mhx－2mh－3m，
所以点D的坐标为(0，－2mh－3m)，
又点C的坐标为(0，－3m)，
可得|(－2mh－3m)－(－3m)|＝4m， 解得h＝±2，
∴抛物线L2的对称轴为x＝±2.
15. (新疆乌鲁木齐市第九十八中学2018届九年级下学期第一次模拟)如图，抛物线 经过A(－3,0)，C(5,0)两点，点B为抛物线顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t，过点P作PM⊥BD，交BC于点M，以PM为正方形的一边，向上作正方形PMNQ，边QN交BC于点R，延长NM交AC于点E．
①当t为何值时，点N落在抛物线上；
②在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ为平行四边形？若存在，求出此时刻的t值；若不存在，请说明理由．


【答案】(1) ；(2)①t=4；②
②根据PM的长度表示出QD，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后根据直线BC的解析式求出点R的横坐标，从而求出QR的长度，再表示出EC的长度，然后根据平行四边形对边平行且相等列式求解即可．
试题解析：解：(1)∵y=ax2+bx+经过A(﹣3，0)，C(5，0)两点，∴，解得： ，∴抛物线的解析式为；
(2)∵=﹣(x2﹣2x+1)+=﹣(x﹣1)2+8，∴点B的坐标为(1，8)．设直线BC的解析式为y=kx+m，则，解得： ，所以直线BC的解析式为y=﹣2x+10．∵抛物线的对称轴与x轴交于点D，∴BD=8，CD=5﹣1=4．∵PM⊥BD，∴PM∥CD，∴△BPM∽△BDC，∴，即，解得：PM=t，∴OE=1+t．∴ME=-2(1+t)+10=8-t．．∵四边形PMNQ为正方形，∴NE=NM+ME=8﹣t+t=8﹣t．
①点N的坐标为(1+t，8﹣t)，若点N在抛物线上，则﹣(1+t﹣1)2+8=8﹣t，整理得，t(t﹣4)=0，解得t1=0(舍去)，t2=4，所以，当t=4秒时，点N落在抛物线上；

②存在．理由如下：
∵PM=t，四边形PMNQ为正方形，∴QD=NE=8﹣t．∵直线BC的解析式为y=﹣2x+10，∴﹣2x+10=8﹣t，解得：x=t+1，∴QR=t+1﹣1=t．又∵EC=CD﹣DE=4﹣t，根据平行四边形的对边平行且相等可得QR=EC，即t=4﹣t，解得：t=，此时点P在BD上，所以，当t=时，四边形ECRQ为平行四边形．
点睛：本题是二次函数的综合题，主要涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，综合性较强，但难度不大，仔细分析便不难求解．
16. (2019•湖北省鄂州市•10分)“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元(x为正整数)，每月的销售量为y条．
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【分析】(1)直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出y与x的函数关系式；
(2)利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值；
(3)利用总利润＝4220+200，求出x的值，进而得出答案．
【解答】解：(1)由题意可得：y＝100+5(80﹣x)整理得 y＝﹣5x+500；
(2)由题意，得：
w＝(x﹣40)(﹣5x+500)
＝﹣5x2+700x﹣20000
＝﹣5(x﹣70)2+4500
∵a＝﹣5＜0∴w有最大值
即当x＝70时，w最大值＝4500
∴应降价80﹣70＝10(元)
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
(3)由题意，得：
﹣5(x﹣70)2+4500＝4220+200
解之，得：x1＝66，x2 ＝74，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，
∴当66≤x≤74时，符合该网店要求
而为了让顾客得到最大实惠，故x＝66
∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
归纳: 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式．