还剩14页未读，
继续阅读
中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第09讲 分式方程（解析版）学案
展开
这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第09讲 分式方程（解析版）学案，共17页。学案主要包含了判断方程为分式方程，解分式方程，分式方程的解，分式方程的应用等内容，欢迎下载使用。
中考数学一轮复习讲义
考点九：分式方程
聚焦考点☆温习理解
1、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：
(1)去分母，方程两边都乘以最简公分母
(2)解所得的整式方程
(3)验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法
换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、判断方程为分式方程
【例1】下列各式中，是分式方程的是( )
A．x+y=5 B． C． D．[来源:学科网ZXXK]
【答案】C．
【解析】
试题分析：根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
试题解析：A、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
C、方程分母中含未知数x，故是分式方程．
D、不是方程，是分式．
故选C．
考点：分式方程的定义．
【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)．
【举一反三】
下列各式中为分式方程的是( )
A．x+ B． C． D．
【答案】B．
【解析】
[来源:Zxxk.Com]
考点：分式方程的定义．
考点典例二、解分式方程
【例2】(2019•四川自贡)解方程：﹣＝1．
【答案】x＝2．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，方程左右两边相等，
所以x＝2是原方程的解．
【举一反三】
1. (2018•青浦区一模)解方程：．
【答案】x=1．
试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
试题解析：方程两边同乘(x+2)(x﹣2)得 x﹣2+4x﹣2(x+2)=x2﹣4，
整理，得x2﹣3x+2=0，
解这个方程得x1=1，x2=2，
经检验，x2=2是增根，舍去，
所以，原方程的根是x=1．
点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
2. (2019•四川省广安市•6分)解分式方程：﹣1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：﹣1＝，
方程两边乘(x﹣2)2得：x(x﹣2)﹣(x﹣2)2＝4，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，(x﹣2)2≠0．
所以原方程的解为x＝4．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
考点典例三、分式方程的解、无解、增根问题
【例3】(2019•江苏宿迁•3分)关于x的分式方程+＝1的解为正数，则a的取值范围是 a＜5且a≠3 ．
【分析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：去分母得：1﹣a+2＝x﹣2，
解得：x＝5﹣a，
5﹣a＞0，
解得：a＜5，
当x＝5﹣a＝2时，a＝3不合题意，
故a＜5且a≠3．
故答案为：a＜5且a≠3．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键．
【例4】(2018年湖北荆州中考模拟)若关于x的分式方程无解，则m的值为( )
A. － B. 1 C. 或2 Ｄ－或－
【答案】D
【解析】若关于x的分式方程无解，
则
而分式方程，去分母得，
即：
当时，
解得，
当时，
无解；
又因为当时，整式方程无解，
即
综上所述，当时，此分式方程无解.
故选D.
【举一反三】
1. (2018四川泸州中考模拟)若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是 ．
【答案】m＜6且m≠2.
【解析】
试题解析：，
方程两边同乘(x-2)得，x+m-2m=3x-6，
解得，x=，
由题意得，＞0，
解得，m＜6，
∵≠2，
∴m≠2，
考点：1.分式方程的解；2.解一元一次不等式
2. (2019四川巴中)若关于x的分式方程+＝2m有增根，则m的值为 ．
【答案】1
【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m(x﹣2)
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，m＝1
故m的值是1
考点典例四、分式方程的应用
【例5】(2019•云南•6分)为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动，已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度．
【考点】分式方程应用题．
【分析】本题有两个相等关系：①乙校师生所乘大巴车的平均速度=1.5×甲校师生所乘大巴车的平均速度；②甲校师生到达目的地的时间－乙校师生到达目的地的时间=1．①式用来设未知数，②式用来列方程．
【解答】解：设甲校师生所乘大巴车的平均速度为xkm/h，则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5xkm/h．根据题意得
，解得x＝60．
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意．
∴1.5x＝90.
答：甲、乙两校师生所乘大巴车的平均速度分别为60km/h和90km/h．
【点评】此题主要考查了列分式方程解应用题．列分式方程解应用题，应注意求出分式方程的解后，要进行“双检”，既要检验所求方程的解是不是原列分式方程的解，还要检验方程的解是否符合实际问题．
【举一反三】
1. (2019•湖南衡阳)某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
(1)求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
(2)商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
【答案】见解析。
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
(1)设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要(x+10)元，
依题意，得：＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝15．
答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．
(2)设购买B商品m个，则购买A商品(80﹣m)个，
依题意，得：，
解得：15≤m≤16．
∵m为整数，∴m＝15或16．
∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；
方案②：购进A商品64个、B商品16个．
2. 文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本.
(1)甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
(2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？(购进的两种图书全部销售完.)
【来源】山东省泰安市2018年中考数学试题
【答案】(1)甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元；(2)甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大.
详解：(1)设乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元．由题意得：
，
解得：．
经检验，是原方程的解．
所以，甲种图书售价为每本元，
答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元．
(2)设甲种图书进货本，总利润元，则
．
又∵，
解得：．
∵随的增大而增大，
∴当最大时最大，
点睛：本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系是解应用题的关键．
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. (2019，山东淄博，4分)解分式方程﹣2时，去分母变形正确的是( )
A．﹣1+x＝﹣1﹣2(x﹣2) B．1﹣x＝1﹣2(x﹣2)
C．﹣1+x＝1+2(2﹣x) D．1﹣x＝﹣1﹣2(x﹣2)
【答案】D
【解答】解：去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2(x﹣2)，
故选：D．
2.(2018年黄冈启黄中学中考模拟)用换元法解方程﹣=3时，设=y，则原方程可化为( )
A．y=﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=0
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵设=y，则=，原方程可转化为：y﹣=3，即y﹣﹣3=0．故答案选B．
考点：换元法解分式方程．
3. (2018•宜宾模拟)使得关于x的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的m的和是( )
A．﹣1 B．2 C．﹣7 D．0
【答案】C所有
试题分析：根据不等式组的解集的情况得出关于m的不等式，求得m的解集，再解分式方程得出x，根据x是非负整数得出m所有的m的和．学&科网
试题解析：∵关于x的不等式组有解，
∴1﹣2m＞m﹣2，
解得m＜1，
由得x=，
∵分式方程有非负整数解，
∴x=是非负整数，
∵m＜1，
∴m=﹣5，﹣2，
∴﹣5﹣2=﹣7，
故选：C．
点睛：本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，求得m的取值范围以及解分式方程是解题的关键．
4. (2017新疆乌鲁木齐第7题)2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前天完成任务，设原计划每天植树万棵，可列方程是 ( )
A． B．
C. D．
【答案】A.
【解析】
试题解析：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树(x+0.2x)万棵，需要天完成，
∵提前5天完成任务，
∴﹣=5，
故选A.
考点：由实际问题抽象出分式方程．
5.(2018年湖北十堰中考模拟)若关于的分式方程有增根，则的值是( ).
A． B． C． D．或
【答案】A.
【解析】
试题分析：题中说此分式方程有增根，说明去分母后化成的整式方程的解是3，所以先把原分式方程化成整式方程，再把3代入，求m值；原分式方程去分母化为整式方程得：2-(x+m)=2(x-3),将x=3代入得：m=-1,故选A.
考点：1.解分式方程；2.增根的意义.
6.(2018年青海中考模拟)穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是( )
A.B.C.
【答案】B．
【解析】
试题分析：设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为(x+160)km/h，根据题意，可得：，故选B．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
7. 若数使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为( )
A． -3 B． -2 C．1 D．2
【答案】C
解析：解不等式，由于不等式有四个整数解，根据题意
A点为，则，解得。解分式方程得，又需排除分式方程无解的情况，故且.结合不等式组的结果有a的取值范围为，又a为整数,所以a的取值为,和为1.故选C
二、填空题
8. (2019，四川巴中，4分)若关于x的分式方程有增根，则m的值为 1 ．
【答案】1
【解答】解：方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m(x﹣2)
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，m＝1
故m的值是1，
故答案为1
9. (甘肃省2018年普通高中招生考试数学模拟卷)方程＝的解是________．
【答案】x＝－1
【解析】＝
方程两边同乘以2x(x-3)，得
x-3=4x
解得，x=-1，
检验：当x=-1时，2x(x-3)≠0，
故原分式方程的解是x=-1，
故答案是：x=-1．
10. (2018四川攀枝花中考模拟)若关于x的分式方程无解，则实数m=_______．
【答案】3或7．
【解析】
解：方程去分母得：7+3(x﹣1)=mx，整理，得(m﹣3)x=4，
当整式方程无解时，m﹣3=0，m=3；
当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1，
∴m﹣3=4，m=7，
∴m的值为3或7．
故答案为：3或7．
11. 甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少，若设甲每小时检测x个，则根据题意，可列出方程：__________．
【来源】2018年浙江省舟山市中考数学试题
【答案】
【解析】【分析】若设甲每小时检测个，检测时间为，乙每小时检测个，检测时间为，根据甲检测300个比乙检测200个所用的时间少，列出方程即可.
【解答】若设甲每小时检测个，检测时间为，乙每小时检测个，检测时间为，根据题意有：
.
故答案为：
【点评】考查分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系.
三、解答题
12．(2017湖北咸宁第17题⑵)解方程：.
【答案】x=﹣1．
试题分析：根据分式方程的解法即可得到结论．
试题解析：
(2)方程两边通乘以2x(x﹣3)得，x﹣3=4x，
解得：x=﹣1，
检验：当x=﹣1时，2x(x﹣3)≠0，
∴原方程的根是x=﹣1．
考点：解分式方程.
13. (四川省宜宾市2018年中考)我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．
【答案】每月实际生产智能手机30万部．
【解析】分析：设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机(1+50%)x万部，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前5个月完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
详解：设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机(1+50%)x万部，
根据题意得：，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
∴(1+50%)x=30．
答：每月实际生产智能手机30万部．
点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
14. (2018•咸安区模拟)一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后按原来速度的1.5倍行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地．求原计划的速度．
【答案】60km/h
试题分析：设汽车原速度为x千米/时，根据提速以后比原计划提前40分钟到达目的地，列方程求解．
试题解析：设汽车原速度为x千米/时，
依题意得，，
解得：x=60，
经检验，x=60是原分式方程的解，且符合题意．
答：汽车原来的速度为60km/h．
点睛：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
15.(2019•山东威海•7分)列方程解应用题：
小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．
【分析】直接利用小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x米/分钟，根据题意可得：
，
解得：x＝50，
经检验得：x＝50是原方程的根，故3x＝150，
答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．
16. (2018贵州黔东南州中考模拟)某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成．
(1)求甲、乙两队工作效率分别是多少？
(2)甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天，求学校需支付的总工资w(元)与甲队工作天数m(天)的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小值．
【答案】(1)甲、乙两队工作效率分别是和．(2)6≤m≤12．34800元．
【解析】
试题分析：(1)设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天．列出分式方程组即可解决问题；
(2)设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成．则，解得x=6．由此可得m的范围，因为乙队每天的费用小于甲队每天的费用，所以让乙先工作6天，再与甲合作6天正好如期完成，此时费用最小；
试题解析：(1)设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天．
由题意，解得，
经检验是分式方程组的解，
∴甲、乙两队工作效率分别是和．
(2)设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成．
则，解得x=6．
∴甲工作6天，
∵甲12天完成任务，
∴6≤m≤12．
∵乙队每天的费用小于甲队每天的费用，
∴让乙先工作6天，再与甲合作6天正好如期完成，此时费用最小，
∴w的最小值为12×1400+6×3000=34800元．
考点：一次函数的应用；分式方程的应用．
17. (2018•天心区校级模拟)4月初某地猪肉价格大幅度下调，下调后每千克猪肉的价格是原价格的，原来用120元买到的猪肉下调后可多买2kg．4月中旬猪肉价格开始回升，经过两个月后，猪肉价格上调为每千克28.8元．
(1)求4月初猪肉价格下调后变为每千克多少元．
(2)求5、6月份猪肉价格的月平均增长率．
【答案】(1) 4月初猪肉价格下调后变为每千克20元．(2) 20%．有
根据题意，得，
解得x=20．
经检验，x=20是原方程的解．
答：4月初猪肉价格下调后变为每千克20元．
(2)设5、6月份猪肉价格的月平均增长率为y．
根据题意，得20(1+y)2=28.8．
解得y1=0.2=20%，y2=﹣2.2(舍去)．
答：5、6月份猪肉价格的月平均增长率为20%．
点睛：本题考查分式方程以及一元二次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
18. (2019•山东潍坊•10分)扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．
(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
(2)某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？(利润计算时，其它费用忽略不计．)
【分析】(1)由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为10(1﹣20%)＝12万元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为(x+1)元，可列出方程：，求得x即可
(2)根据总利润＝(售价﹣成本)×数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值．
【解答】解：(1)由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为(x+1)元，今年的批发销售总额为10(1﹣20%)＝12万元
∴
整理得x2﹣19x﹣120＝0
解得x＝24或x＝﹣5(不合题意，舍去)
故这种水果今年每千克的平均批发价是24元．
(2)设每千克的平均售价为m元，依题意
由(1)知平均批发价为24元，则有
w＝(m﹣24)(×180+300)＝﹣60m2+4200m﹣66240
整理得w＝﹣60(m﹣35)2+7260
∵a＝﹣60＜0
∴抛物线开口向下
∴当m＝35元时，w取最大值
即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元
归纳：最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
中考数学一轮复习讲义
考点九：分式方程
聚焦考点☆温习理解
1、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：
(1)去分母，方程两边都乘以最简公分母
(2)解所得的整式方程
(3)验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法
换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、判断方程为分式方程
【例1】下列各式中，是分式方程的是( )
A．x+y=5 B． C． D．[来源:学科网ZXXK]
【答案】C．
【解析】
试题分析：根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
试题解析：A、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
C、方程分母中含未知数x，故是分式方程．
D、不是方程，是分式．
故选C．
考点：分式方程的定义．
【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)．
【举一反三】
下列各式中为分式方程的是( )
A．x+ B． C． D．
【答案】B．
【解析】
[来源:Zxxk.Com]
考点：分式方程的定义．
考点典例二、解分式方程
【例2】(2019•四川自贡)解方程：﹣＝1．
【答案】x＝2．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，方程左右两边相等，
所以x＝2是原方程的解．
【举一反三】
1. (2018•青浦区一模)解方程：．
【答案】x=1．
试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
试题解析：方程两边同乘(x+2)(x﹣2)得 x﹣2+4x﹣2(x+2)=x2﹣4，
整理，得x2﹣3x+2=0，
解这个方程得x1=1，x2=2，
经检验，x2=2是增根，舍去，
所以，原方程的根是x=1．
点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
2. (2019•四川省广安市•6分)解分式方程：﹣1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：﹣1＝，
方程两边乘(x﹣2)2得：x(x﹣2)﹣(x﹣2)2＝4，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，(x﹣2)2≠0．
所以原方程的解为x＝4．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
考点典例三、分式方程的解、无解、增根问题
【例3】(2019•江苏宿迁•3分)关于x的分式方程+＝1的解为正数，则a的取值范围是 a＜5且a≠3 ．
【分析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：去分母得：1﹣a+2＝x﹣2，
解得：x＝5﹣a，
5﹣a＞0，
解得：a＜5，
当x＝5﹣a＝2时，a＝3不合题意，
故a＜5且a≠3．
故答案为：a＜5且a≠3．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键．
【例4】(2018年湖北荆州中考模拟)若关于x的分式方程无解，则m的值为( )
A. － B. 1 C. 或2 Ｄ－或－
【答案】D
【解析】若关于x的分式方程无解，
则
而分式方程，去分母得，
即：
当时，
解得，
当时，
无解；
又因为当时，整式方程无解，
即
综上所述，当时，此分式方程无解.
故选D.
【举一反三】
1. (2018四川泸州中考模拟)若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是 ．
【答案】m＜6且m≠2.
【解析】
试题解析：，
方程两边同乘(x-2)得，x+m-2m=3x-6，
解得，x=，
由题意得，＞0，
解得，m＜6，
∵≠2，
∴m≠2，
考点：1.分式方程的解；2.解一元一次不等式
2. (2019四川巴中)若关于x的分式方程+＝2m有增根，则m的值为 ．
【答案】1
【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m(x﹣2)
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，m＝1
故m的值是1
考点典例四、分式方程的应用
【例5】(2019•云南•6分)为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动，已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度．
【考点】分式方程应用题．
【分析】本题有两个相等关系：①乙校师生所乘大巴车的平均速度=1.5×甲校师生所乘大巴车的平均速度；②甲校师生到达目的地的时间－乙校师生到达目的地的时间=1．①式用来设未知数，②式用来列方程．
【解答】解：设甲校师生所乘大巴车的平均速度为xkm/h，则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5xkm/h．根据题意得
，解得x＝60．
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意．
∴1.5x＝90.
答：甲、乙两校师生所乘大巴车的平均速度分别为60km/h和90km/h．
【点评】此题主要考查了列分式方程解应用题．列分式方程解应用题，应注意求出分式方程的解后，要进行“双检”，既要检验所求方程的解是不是原列分式方程的解，还要检验方程的解是否符合实际问题．
【举一反三】
1. (2019•湖南衡阳)某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
(1)求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
(2)商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
【答案】见解析。
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
(1)设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要(x+10)元，
依题意，得：＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝15．
答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．
(2)设购买B商品m个，则购买A商品(80﹣m)个，
依题意，得：，
解得：15≤m≤16．
∵m为整数，∴m＝15或16．
∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；
方案②：购进A商品64个、B商品16个．
2. 文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本.
(1)甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
(2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？(购进的两种图书全部销售完.)
【来源】山东省泰安市2018年中考数学试题
【答案】(1)甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元；(2)甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大.
详解：(1)设乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元．由题意得：
，
解得：．
经检验，是原方程的解．
所以，甲种图书售价为每本元，
答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元．
(2)设甲种图书进货本，总利润元，则
．
又∵，
解得：．
∵随的增大而增大，
∴当最大时最大，
点睛：本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系是解应用题的关键．
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. (2019，山东淄博，4分)解分式方程﹣2时，去分母变形正确的是( )
A．﹣1+x＝﹣1﹣2(x﹣2) B．1﹣x＝1﹣2(x﹣2)
C．﹣1+x＝1+2(2﹣x) D．1﹣x＝﹣1﹣2(x﹣2)
【答案】D
【解答】解：去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2(x﹣2)，
故选：D．
2.(2018年黄冈启黄中学中考模拟)用换元法解方程﹣=3时，设=y，则原方程可化为( )
A．y=﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=0
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵设=y，则=，原方程可转化为：y﹣=3，即y﹣﹣3=0．故答案选B．
考点：换元法解分式方程．
3. (2018•宜宾模拟)使得关于x的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的m的和是( )
A．﹣1 B．2 C．﹣7 D．0
【答案】C所有
试题分析：根据不等式组的解集的情况得出关于m的不等式，求得m的解集，再解分式方程得出x，根据x是非负整数得出m所有的m的和．学&科网
试题解析：∵关于x的不等式组有解，
∴1﹣2m＞m﹣2，
解得m＜1，
由得x=，
∵分式方程有非负整数解，
∴x=是非负整数，
∵m＜1，
∴m=﹣5，﹣2，
∴﹣5﹣2=﹣7，
故选：C．
点睛：本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，求得m的取值范围以及解分式方程是解题的关键．
4. (2017新疆乌鲁木齐第7题)2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前天完成任务，设原计划每天植树万棵，可列方程是 ( )
A． B．
C. D．
【答案】A.
【解析】
试题解析：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树(x+0.2x)万棵，需要天完成，
∵提前5天完成任务，
∴﹣=5，
故选A.
考点：由实际问题抽象出分式方程．
5.(2018年湖北十堰中考模拟)若关于的分式方程有增根，则的值是( ).
A． B． C． D．或
【答案】A.
【解析】
试题分析：题中说此分式方程有增根，说明去分母后化成的整式方程的解是3，所以先把原分式方程化成整式方程，再把3代入，求m值；原分式方程去分母化为整式方程得：2-(x+m)=2(x-3),将x=3代入得：m=-1,故选A.
考点：1.解分式方程；2.增根的意义.
6.(2018年青海中考模拟)穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是( )
A.B.C.
【答案】B．
【解析】
试题分析：设普通列车的平均行驶速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为(x+160)km/h，根据题意，可得：，故选B．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
7. 若数使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为( )
A． -3 B． -2 C．1 D．2
【答案】C
解析：解不等式，由于不等式有四个整数解，根据题意
A点为，则，解得。解分式方程得，又需排除分式方程无解的情况，故且.结合不等式组的结果有a的取值范围为，又a为整数,所以a的取值为,和为1.故选C
二、填空题
8. (2019，四川巴中，4分)若关于x的分式方程有增根，则m的值为 1 ．
【答案】1
【解答】解：方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m(x﹣2)
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，m＝1
故m的值是1，
故答案为1
9. (甘肃省2018年普通高中招生考试数学模拟卷)方程＝的解是________．
【答案】x＝－1
【解析】＝
方程两边同乘以2x(x-3)，得
x-3=4x
解得，x=-1，
检验：当x=-1时，2x(x-3)≠0，
故原分式方程的解是x=-1，
故答案是：x=-1．
10. (2018四川攀枝花中考模拟)若关于x的分式方程无解，则实数m=_______．
【答案】3或7．
【解析】
解：方程去分母得：7+3(x﹣1)=mx，整理，得(m﹣3)x=4，
当整式方程无解时，m﹣3=0，m=3；
当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1，
∴m﹣3=4，m=7，
∴m的值为3或7．
故答案为：3或7．
11. 甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少，若设甲每小时检测x个，则根据题意，可列出方程：__________．
【来源】2018年浙江省舟山市中考数学试题
【答案】
【解析】【分析】若设甲每小时检测个，检测时间为，乙每小时检测个，检测时间为，根据甲检测300个比乙检测200个所用的时间少，列出方程即可.
【解答】若设甲每小时检测个，检测时间为，乙每小时检测个，检测时间为，根据题意有：
.
故答案为：
【点评】考查分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系.
三、解答题
12．(2017湖北咸宁第17题⑵)解方程：.
【答案】x=﹣1．
试题分析：根据分式方程的解法即可得到结论．
试题解析：
(2)方程两边通乘以2x(x﹣3)得，x﹣3=4x，
解得：x=﹣1，
检验：当x=﹣1时，2x(x﹣3)≠0，
∴原方程的根是x=﹣1．
考点：解分式方程.
13. (四川省宜宾市2018年中考)我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．
【答案】每月实际生产智能手机30万部．
【解析】分析：设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机(1+50%)x万部，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前5个月完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
详解：设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机(1+50%)x万部，
根据题意得：，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
∴(1+50%)x=30．
答：每月实际生产智能手机30万部．
点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
14. (2018•咸安区模拟)一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后按原来速度的1.5倍行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地．求原计划的速度．
【答案】60km/h
试题分析：设汽车原速度为x千米/时，根据提速以后比原计划提前40分钟到达目的地，列方程求解．
试题解析：设汽车原速度为x千米/时，
依题意得，，
解得：x=60，
经检验，x=60是原分式方程的解，且符合题意．
答：汽车原来的速度为60km/h．
点睛：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
15.(2019•山东威海•7分)列方程解应用题：
小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．
【分析】直接利用小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x米/分钟，根据题意可得：
，
解得：x＝50，
经检验得：x＝50是原方程的根，故3x＝150，
答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．
16. (2018贵州黔东南州中考模拟)某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成．
(1)求甲、乙两队工作效率分别是多少？
(2)甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天，求学校需支付的总工资w(元)与甲队工作天数m(天)的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小值．
【答案】(1)甲、乙两队工作效率分别是和．(2)6≤m≤12．34800元．
【解析】
试题分析：(1)设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天．列出分式方程组即可解决问题；
(2)设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成．则，解得x=6．由此可得m的范围，因为乙队每天的费用小于甲队每天的费用，所以让乙先工作6天，再与甲合作6天正好如期完成，此时费用最小；
试题解析：(1)设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天．
由题意，解得，
经检验是分式方程组的解，
∴甲、乙两队工作效率分别是和．
(2)设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成．
则，解得x=6．
∴甲工作6天，
∵甲12天完成任务，
∴6≤m≤12．
∵乙队每天的费用小于甲队每天的费用，
∴让乙先工作6天，再与甲合作6天正好如期完成，此时费用最小，
∴w的最小值为12×1400+6×3000=34800元．
考点：一次函数的应用；分式方程的应用．
17. (2018•天心区校级模拟)4月初某地猪肉价格大幅度下调，下调后每千克猪肉的价格是原价格的，原来用120元买到的猪肉下调后可多买2kg．4月中旬猪肉价格开始回升，经过两个月后，猪肉价格上调为每千克28.8元．
(1)求4月初猪肉价格下调后变为每千克多少元．
(2)求5、6月份猪肉价格的月平均增长率．
【答案】(1) 4月初猪肉价格下调后变为每千克20元．(2) 20%．有
根据题意，得，
解得x=20．
经检验，x=20是原方程的解．
答：4月初猪肉价格下调后变为每千克20元．
(2)设5、6月份猪肉价格的月平均增长率为y．
根据题意，得20(1+y)2=28.8．
解得y1=0.2=20%，y2=﹣2.2(舍去)．
答：5、6月份猪肉价格的月平均增长率为20%．
点睛：本题考查分式方程以及一元二次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
18. (2019•山东潍坊•10分)扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．
(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
(2)某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？(利润计算时，其它费用忽略不计．)
【分析】(1)由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为10(1﹣20%)＝12万元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为(x+1)元，可列出方程：，求得x即可
(2)根据总利润＝(售价﹣成本)×数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值．
【解答】解：(1)由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为(x+1)元，今年的批发销售总额为10(1﹣20%)＝12万元
∴
整理得x2﹣19x﹣120＝0
解得x＝24或x＝﹣5(不合题意，舍去)
故这种水果今年每千克的平均批发价是24元．
(2)设每千克的平均售价为m元，依题意
由(1)知平均批发价为24元，则有
w＝(m﹣24)(×180+300)＝﹣60m2+4200m﹣66240
整理得w＝﹣60(m﹣35)2+7260
∵a＝﹣60＜0
∴抛物线开口向下
∴当m＝35元时，w取最大值
即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元
归纳：最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
相关学案
中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第02讲 实数的计算（解析版）学案： 这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第02讲 实数的计算（解析版）学案，共13页。学案主要包含了实数的运算，非负数的性质，实数的大小比较等内容，欢迎下载使用。
中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第12讲 位置与坐标（解析版）学案： 这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第12讲 位置与坐标（解析版）学案，共21页。学案主要包含了三象限夹角平分线上x与y相等，图形的坐标变化与对称，点的平移，点的坐标规律等内容，欢迎下载使用。
中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第09讲 分式方程（原卷版）学案： 这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第09讲 分式方程（原卷版）学案，共6页。学案主要包含了判断方程为分式方程，解分式方程，分式方程的解，分式方程的应用等内容，欢迎下载使用。
