中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第10讲 方程（组）的应用（原卷版）学案

中考数学一轮复习讲义

考点十：方程(组)的应用

聚焦考点☆温习理解

1．列方程(组)解应用题的一般步骤

(1)审题；

(2)设未知数；

(3)找出包含未知数的等量关系式；

(4)列出方程(组；

(5)求出方程(组)的解；

(6)检验并作答．

2．各类应用题的等量关系

(1)行程问题：路程＝速度×时间；

相遇问题：两者路程之和＝全程；

追及问题：快者路程＝慢者先走路程(或相距路程)＋慢者后走路程．

(2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间．

(3)几何图形问题

面积问题：体积问题还有其他几何图形问题：如线段、周长等

(4)增长率问题：如果基数用a表示，末数用A表示，x表示增长率，时间间隔用n表示，那么增长率问题的数量关系表示为：a(1±x)n=A

(5)利润问题

利润=销售价-进货价

利润率=

销售价=(1+利润率)×进货价

(6)利息问题

利息=本金×利率×期数

本息和=本金+利息

名师点睛☆典例分类

考点典例一、二元一次方程的应用

【例1】(2019•湖北省仙桃市•3分)把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有(　　)

A．3种 B．4种 C．5种 D．9种

【举一反三】

(2019•黑龙江省绥化市•3分)小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有(　　)

A．5种 B．4种 C．3种 D．2种

考点典例二、二元一次方程组的应用

【例2】(2019•山东临沂•3分)用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品；要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A、B两种型号的钢板共　11　块．

【举一反三】

(2019•四川省广安市•8分)为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．

(1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？

(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

考点典例三、分式方程的应用

【例3】(2019•四川省达州市•7分)端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？

【分析】设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是0.6x元/个，根据数量＝总价÷单价结合两次一共购买了27个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【举一反三】

(2019年云南)为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动，已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.

考点典例四、一元二次方程的应用

【例4】(2019•广东广州•12分)随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．

(1)计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？

(2)按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．

【举一反三】

1、(2018江苏省扬州市中考模拟)某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施.假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？

2、(2018广东省广州市花都区一模)我国水资源比较缺乏，人均水量约为世界人均水量的四分之一，其中西北地区缺水尤为严重．一村民为了蓄水，他把一块矩形白铁皮四个角各切去一个同样大小的小正方形后制作一个无盖水箱用于接雨水．已知白铁皮的长为280cm，宽为160cm(如图)．

(1)若水箱的底面积为16000cm2，请求出切去的小正方形边长；

(2)对(1)中的水箱，若盛满水，这时水量是多少升？(注：1升水=1000cm3水)

课时作业☆能力提升

1. (2017新疆乌鲁木齐第7题)2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前天完成任务，设原计划每天植树万棵，可列方程是 (   )

A．               B．      

C.                    D． [来源:Zxxk.Com]

2. 某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为(　　)

A. 2%    B. 4.4%    C. 20%    D. 44%

3.(2018湖南省衡阳市一模)施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米。设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是(   )

A.     B.

C.     D.

4. (黑龙江省牡丹江市2018届中考牡丹江管理局北斗星协会一模考试)在国家倡导的“阳光体育”活动中，老师给小明30元钱，让他买三样体育用品；大绳，小绳，毽子．其中大绳至多买两条，大绳每条10元，小绳每条3元，毽子每个1元．在把钱都用尽的条件下，买法共有(        )

A. 6种    B. 7种    C. 8种    D. 9种

5. .(2018安徽省皖东南初中联考)如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽． 如果设小路宽为x，根据题意，所列方程正确的是(　　)

A. (20﹣x)(32﹣x)=540    B. (20﹣x)(32﹣x)=100

C. (20+x)(32﹣x)=540    D. (20+x)(32﹣x)=100

6. (2018江苏镇江中考模拟)某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是(　　)

A．20% B．25% C．50% D．62.5%

7. (2018甘肃兰州中考模拟)王叔叔从市场上买一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱，如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为(    )

A.     B.

C.     D.

8. (2019四川自贡)某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮

球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的

单价为y元，依题意，可列方程组为　             　．

9.(2018辽宁大连中考模拟)某班学生去看演出，甲种票每张30元，乙种票每张20元.如果36名学生购票恰好用去860元.设甲种票买了张，乙种票买了张，依据题意，可列方程组为        .

10. (2018江苏省无锡市江阴市一模)某商场将一款品牌时装按标价打九折出售，可获利80%，若按标价打七折出售，可获利______%。

11．(2018浙江省温州平阳县中考模拟)在“校园文化”建设中，某校用8 000元购进一批绿色植物，种植在礼堂前的空地处．根据建设方案的要求，该校又用7500元购进第二批绿植植物．若两次所买植物的盆数相同，且第二批每盆的价格比第一批的少10元．则第二批绿植每盆的价格为__________元．

12. (2018四川自贡中考模拟)我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：

“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组　　               ．

13. (山东省滨州市阳信县2018届九年级中考模拟)列方程解应用题：某景区一景点改造工程要限期完成，甲工程队单独做可提前一天完成，乙工程队单独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，则工程期限是多少天？

14. (2018贵州遵义一模)为厉行节能减排，倡导绿色出行，今年3月以来．“共享单车”(俗称“小黄车”)公益活动登陆我市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A、B两种不同款型，请回答下列问题：

问题1：单价

该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A、B两型自行车各50辆，投放成本共计7500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A、B两型自行车的单价各是多少？

问题2：投放方式[来源:Zxxk.Com]

该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“小黄车”，乙街区每1000人投放 辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值．

15. (2019四川攀枝花)攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果

远销北上广等大城市。某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15

元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量(千克)

与该天的售价(元/千克)之间的数量满足如下表所示的一次函数关系。

(1)某天这种芒果售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量

(2)设某天销售这种芒果获利元，写出与售价之间的函数关系式；如果水果店该天

获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？

16. (2017浙江衢州第20题)根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业、第二产业、第三产业所占比例如图2所示。

请根据图中信息，解答下列问题：

(1)求2016年第一产业生产总值(精确到1亿元)；

(2)2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几(精确到1%)？

(3)若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值平均年增长率(精确到1%)。

17. 在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.

(1) 原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化和里程数至少是多少千米？

(2) 到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 : 2，且里程数之比为2 : 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入.经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%(a>0)，并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值.

18. 为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价(单位:万元)成一次函数关系.

(1)求年销售量与销售单价的函数关系式;

(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?

19. 文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本.

(1)甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？

(2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？(购进的两种图书全部销售完.)

20. (2018广东省汕头市图南区模拟)在某节日前夕，几位同学到学校附近文具店调查一种进价为2元的节日贺卡的销售情况，每张定价3元，每天能卖出500张，每张售价每上涨0.1元，其每天销售量就减少10个．另外，物价局规定，售价不得超过商品进价的240%．据此，请你解答下面问题：

(1)要实现每天800元的利润，应如何定价？

(2)800元的利润是否最大？如何定价，才能获得最大利润？