中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第03讲 整式及其运算（解析版）学案

这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第03讲 整式及其运算（解析版）学案，共16页。学案主要包含了单项式，多项式，幂的运算，整式的乘除法.，整式的混合运算及求值等内容，欢迎下载使用。
中考数学一轮复习讲义考点三：整式及其运算 聚焦考点☆温习理解一、单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数．单独的数、字母也是单项式．二、多项式：由几个单项式组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项．三．整式：单项式和多项式统称为整式．四．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．五．幂的运算法则(1)同底数幂相乘：am·an＝am＋n(m，n都是整数，a≠0)(2)幂的乘方：(am)n＝amn(m，n都是整数，a≠0)(3)积的乘方：(ab)n＝an·bn(n是整数，a≠0，b≠0)(4)同底数幂相除：am÷an＝am－n(m，n都是整数，a≠0)六．整式乘法单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式．学科+网单项式乘多项式：m(a＋b)＝ma+mb；多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac+ad+bc+bd七．乘法公式(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2(2)完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．八．整式除法单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加．名师点睛☆典例分类考点典例一、整式的加减运算【例1】化简(9x﹣3)﹣2(x+1)的结果是(　　)A．2x﹣2 B．x+1 C．5x+3 D．x﹣3【答案】D．【解析】原式＝3x﹣1﹣2x﹣2＝x﹣3【举一反三】1. 下列运算正确的是(  )A. x﹣2x=﹣x    B. 2x﹣y=xy    C. x2+x2=x4    D. (x﹣1)2=x2﹣1【来源】江苏省连云港市2018年中考数学试题【答案】A点睛：本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．2. 如果a－b－2＝0，那么代数式1＋2a－2b的值是__________．【答案】5【解析】本题考查了整式的求值问题，将条件进行转化，然后利用整体代入的方法进行求值．∵a－b－2＝0，∴a－b＝2．∴1＋2a－2b＝1＋2(a－b)＝1＋2×2＝5，因此本题答案为5．考点典例二、同类项的概念及合并同类项【例2】若8xmy与6x3yn的和是单项式，则(m+n)3的平方根为(　　)A．4 B．8 C．±4 D．±8【答案】D 【解析】根据单项式的和是单项式，可得同类项，根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，再代入计算可得答案．由8xmy与6x3yn的和是单项式，得m＝3，n＝1．(m+n)3＝(3+1)3＝64，64的平方根为±8．【举一反三】1.若代数式2xay3zc与是同类项，则(　　)A．a=4，b=2，c=3 B．a=4，b=4，c=3 C．a=4，b=3，c=2 D．a=4，b=3，c=4【答案】C点睛：本题主要考查同类项的知识，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．2.下列运算正确的是(     )A.     B.     C.     D. 【答案】C．考点：合并同类项．考点典例三、幂的运算【例3】下列运算正确的是(　　)A．a6÷a3＝a3 B．a4•a2＝a8 C．(2a2)3＝6a6 D．a2+a2＝a4【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故此选项正确；B、a4•a2＝a6，故此选项错误；C、(2a2)3＝8a6，故此选项错误；D、a2+a2＝2a2，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【举一反三】[来源:学科网ZXXK]1. 若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝　15　．【分析】由2x＝3，2y＝5，根据同底数幂的乘法可得2x+y＝2x•2y，继而可求得答案．【解答】解：∵2x＝3，2y＝5，∴2x+y＝2x•2y＝3×5＝15．故答案为：15．【点评】此题考查了同底数幂的乘法．此题比较简单，注意掌握公式的逆运算2.下列计算正确的是(　　)A．a6+a6＝2a12 B．2﹣2÷20×23＝32 C．(﹣ab2)•(﹣2a2b)3＝a3b3 D．a3•(﹣a)5•a12＝﹣a20【答案】D 【解析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别判断得出答案．A.a6+a6＝2a6，故此选项错误；B.2﹣2÷20×23＝2，故此选项错误；C.(﹣ab2)•(﹣2a2b)3＝(﹣ab2)•(﹣8a6b3)＝4a7b5，故此选项错误；D.a3•(﹣a)5•a12＝﹣a20，正确．考点典例四、整式的乘除法.【例4】先化简，再求值：(a+3)2﹣(a+1)(a﹣1)﹣2(2a+4)，其中a＝﹣．【分析】注意到(a+3)2可以利用完全平方公式进行展开，(a+1)(a﹣1)利润平方差公式可化为(a2﹣1)，则将各项合并即可化简，最后代入a＝进行计算．【解答】解：原式＝a2+6a+9﹣(a2﹣1)﹣4a﹣8＝2a+2将a＝﹣代入原式＝2×(﹣)+2＝1【点评】本题主要考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变【举一反三】1. 先化简，再求值：(a-1)2+a(a+2),其中a=【答案】5【解析】整式的运算。将原代数式化简求值即可【解题过程】解：原式=a2-2a+1+a2+2a=2a2+1,当a=时，原式=2. (1)计算：；(2)化简：(m+2)2 +4(2-m)【来源】浙江省温州市2018年中考数学试卷【答案】(1)5-；(2)m2+12  点睛: 本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、乘方、二次根式、完全平方公式、去括号法则、合并同类项等考点的运算.考点典例五、整式的混合运算及求值【例5】先化简，再求值：a(a+2b)﹣(a+1)2+2a，其中 ．【来源】山东省淄博市2018年中考数学试题【答案】2ab﹣1，=1．【解析】分析：先计算单项式乘以多项式与和的完全平方，再合并同类项，最后代入计算即可．详解：原式=a2+2ab﹣(a2+2a+1)+2a=a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1+2a=2ab﹣1，当，时，原式=2(+1)(-1)﹣1=2﹣1=1．点睛：本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．【举一反三】1.先化简，再求值：，其中.【答案】4.考点：整式的混合运算—化简求值．2.已知a﹣=3，那么a2+=_____．【答案】11课时作业☆能力提升一、选择题1. 下面是一位同学做的四道题：①.②.③.④.其中做对的一道题的序号是(   )A. ①    B. ②    C. ③    D. ④【答案】C【点评】考查完全平方公式，同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及积的乘方，熟记它们的运算法则是解题的关键.2. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式  的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第四项的系数为(  )A. 84    B. 56    C. 35    D. 28【来源】山东省德州市2018年中考数学试题【答案】B点睛：本题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力． 3.已知,则代数式的值为：A. 3    B. 2    C. 1    D. 0【答案】C．【解析】试题分析：∵2m2-8m-13＝2(m2-4m)-13,m2-4m=7,∴2m2-8m-13＝14-13=1;故选C。考点：整体思想.4. 计算：(2x2)3﹣x2•x4．【分析】先算乘方与乘法，再合并同类项即可．【解答】解：(2x2)3﹣x2•x4＝8x6﹣x6＝7x6．归纳：整式的运算中需注意以下几点： (1)幂的乘方→转化为指数乘法运算．即(a2)3＝a2×3. (2)同底数幂的乘法→转化为指数的加法运算．即a2·a3＝a2＋3. (3)在算积的乘方时，若底数中含有数字，要记住对数字也要进行乘方． (4)在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形：①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab； ②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab； ③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab； ④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.5.下列运算正确的有(　　)A．　　　　B．　　　　C． 　　　　D．【答案】B．考点：幂的乘方与积的乘方；算术平方根；合并同类项；完全平方公式．6. 下列计算正确的是(     )A. 2x2·2xy＝4x3y4    B. 3x2y－5xy2＝－2x2yC. x－1÷x－2＝x－1    D. (－3a－2)(－3a＋2)＝9a2－4【答案】D故选D.7. 下列运算正确的是(　　)A. m6÷m2=m3    B. (x+1)2=x2+1    C. (3m2)3=9m6    D. 2a3•a4=2a7【答案】D故选D8.由于受禽流感的影响，我市某城区今年月份鸡的价格比月份下降，月份比月份下降，已知月份鸡的价格为元/千克，设月份鸡的价格为元/千克，则()A．         B．      C.            D．【答案】D．试题分析：今年2月份鸡的价格比1月份下降a%，1月份鸡的价格为24元/千克，可得2月份鸡的价格为24(1﹣a%)，再由3月份比2月份下降b%，即可得三月份鸡的价格为24(1﹣a%)(1﹣b%)，故选D．考点：列代数式.二、填空题9. 设是一列正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)，已知，，则___________.【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题【答案】4035【解析】【分析】整理得，从而可得an+1-an=2或an=-an+1，再根据题意进行取舍后即可求得an的表达式，继而可得a2018.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出an+1-an=2.10. 若单项式﹣xm﹣2y3与xny2m﹣3n的和仍是单项式，则m﹣n=　　．【答案】 【解析】试题分析：根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，可得出m和n的值，然后求得m﹣n的值．试题解析：∵单项式﹣xm﹣2y3与xny2m﹣3n的和仍是单项式，∴m﹣2=n，2m﹣3n=3，解得：m=3，n=1，∴m﹣n=3﹣1=；故答案为：．点睛：本题考查同类项的知识，比较简单，注意掌握同类项的定义．11. 已知，则          ．【答案】80.【解析】试题解析：∵(a+b)(a-b)=a2-b2，∴a2-b2=10×8=80.考点：平方差公式．12. 如果m是最大的负整数，n是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，那么代数式m2015+2016n+c2017的值为              【答案】0【解析】试题解析：由题意可知：m=﹣1，n=0，c=1∴原式=(﹣1)2015+2016×0+12017=0考点：代数式求值．13. 如图，从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是　　．【答案】a+6．【解析】试题解析：拼成的长方形的面积=(a+3)2﹣32，=(a+3+3)(a+3﹣3)，=a(a+6)，∵拼成的长方形一边长为a，∴另一边长是a+6．考点：图形的拼接.14.如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3＝7则(1)用含x的式子表示m＝　   　；(2)当y＝﹣2时，n的值为　   　．【答案】1【解答】解：(1)根据约定的方法可得：m＝x+2x＝3x；故答案为：3x；(2)根据约定的方法即可求出nx+2x+2x+3＝m+n＝y．当y＝﹣2时，5x+3＝﹣2．解得x＝﹣1．∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1．故答案为：1． 三、解答题14.先化简，再求值： ，其中．【答案】原式=7.考点：整式的化简求值．15. 计算或化简.(1)；(2).【来源】江苏省扬州市2018年中考数学试题【答案】(1)4；(2) 【解析】分析：(1)根据负整数幂、绝对值的运算法则和特殊三角函数值即可化简求值．(2)利用完全平方公式和平方差公式即可．详解：(1)(9)-1+|−2|+tan60°=2+(2-)+=2+2-+=4(2)(2x+3)2-(2x+3)(2x-3)=(2x)2+12x+9-[(2x2)-9]=(2x)2+12x+9-(2x)2+9=12x+18点睛：本题考查实数的混合运算和乘法公式，负整数指数幂的运算和相反数容易混淆，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．16.有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=(a+b)2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．方案二：方案三：【答案】见解析.点睛：本题考查了完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．17.阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：(1)等差数列5，10，15，…的公差d为　   　，第5项是　   　．(2)如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．所以a2＝a1+da3＝a2+d＝(a1+d)+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝(a1+2d)+d＝a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+(　   　)d．(3)﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？【答案】(1)5，25；(2)n﹣1；(3)﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，它是此数列的第2019项．【解析】解：(1)根据题意得，d＝10﹣5＝5；∵a3＝15，a4＝a3+d＝15+5＝20，a5＝a4+d＝20+5＝25，故答案为：5；25．(2)∵a2＝a1+da3＝a2+d＝(a1+d)+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝(a1+2d)+d＝a1+3d，……∴an＝a1+(n﹣1)d故答案为：n﹣1．(3)根据题意得，等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项的通项公式为：an＝﹣5﹣2(n﹣1)，则﹣5﹣2(n﹣1)＝﹣4041，解之得：n＝2019∴﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，它是此数列的第2019项．       [来源:Zxxk.Com]