初中人教版第十八章 平行四边形综合与测试学案

【学习目标】

1．利用图形的旋转和简单的推理掌握平行四边形的简单识别方法．

2．能综合运用平行四边形的特征与识别方法来解决实际问题．

【基础知识概述】

1．平行四边形的识别方法：

(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

(2)方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

(3)方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

(4)方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

(5)方法4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

注意：①识别四边形为平行四边形有五种方法选择，应根据具体条件而定；②“平行且相等”用符号表示．

2．平行四边形识别方法的选择：

3．平行四边形知识的运用：

(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．

(2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．

(3)先识别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．

4．平行四边形作图：

(1)常见的平行四边形的作图：

①已知两邻边和夹角作平行四边形．

②已知一边、一条对角线及它们夹角作平行四边形．

③已知一边和两条对角线作平行四边形．

④已知两邻边和一条对角线作平行四边形．

⑤已知一边和一个内角以及过这个角顶点的一条对角线作平行四边形．

(2)完成图形的关键步骤：

①先由条件作出它们能确定的三角形．

②然后再将三角形补成平行四边形．

注意：①作图前要先画草图，然后根据草图决定先画什么，再画什么．

②四边形的作图基本上都是先画三角形，再补成平行四边形，这也体现了将四边形知识化归成三角形问题的思想方法．

【例题精讲】

例1  如图12-1-14所示，已知中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与EB交于G，CE与DF交于H，试说明四边形EGFH为平行四边形．

分析：本题考查平行四边形的识别，那么多的识别方法中，选择哪一种呢？考虑到及中点，易知四边形AFCE和EBFD都是平行四边形，从而GE∥FH，GF∥EH，如若采取先确定识别方法，再找条件将会使解题复杂化．

解：在中，，已知E，F分别为AD，BC的中点，所以，，所以四边形AFCE、EBFD都是平行四边形．所以AF∥EC，BE∥FD．即GF∥EH，GE∥FH．所以四边形EGFH为平行四边形．

说明：本题是由定义判定平行四边形，在判定四边形为平行四边形时，要充分利用已知条件选择判定方法．

例2  如图12-1-15，，以AC为边长在其两侧各作一个正△ACP和△ACQ，试说明四边形BPDQ是平行四边形．

解：∵，

∴AB∥CD，∠1＝∠2．

∵△ACP和△ACQ是正三角形，

∴PA＝QC，∠PAC＝∠QCA＝60°，

∴PA∥QC，

∴四边形PCQA是平行四边形，

∴PQ与AC平分．

∵AC与PQ互相平分，BD与PQ互相平分，

∴四边形BPDQ是平行四边形．

思考：能否通过两组对边分别相等得到结论．

提示：能．

易证△PAB与△QCD重合，

∴PB＝QD，同理PD＝QB．

∴四边形BPDQ是平行四边形．

注意：合理选择平行四边形的识别方法．

例3  已知四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：

①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．

②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．

③如果再加上条件“AO＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．

④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么平行四边形ABCD一定是平行四边形．

其中正确的说法是(    )．

A．①和② B．①、③和④

C．②和③ D．②、③和④

解：用逐个筛选法．

关于①，由于AB∥CD，知∠ABD＝∠CDB，如果AD＝BC及DB＝BD，一般不能得到△ABD与△CDB重合，或者△ABD与△CAD重合，这样证对边相等缺少充足理由．

关于②，由AB∥CD，知∠ABD＝∠CDB，如果∠BAD＝∠BCD，再用BD＝DB，可得△ABD与△CDB重合，于是AB＝DC，，故得．

关于③，由AB∥CD知，∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，若AO＝OC，则△AOB与△COD重合，于是AB＝DC，即，故得．

关于④，由∠DBA＝∠CAB，知OA＝OB，又AB∥CD知∠DBA＝∠BDC，同理也会有OC＝OD，但OA不一定等于OC，如12-1-16就是一个反例．

综上所述，知②③正确，应选C．

例4  如图12-1-17，在中，点E、F在AC上，且AF＝CE，点G、H分别在AB、CD上，且AC＝CH，AC与GH相交于点O，试说明(1)EG∥FH；(2)GH、EF互相平分．

分析：(1)要证EG∥FH，需证∠GEO＝∠HFO，

要证∠GEO＝∠HFO，需证∠AEG＝∠CFH，

故先证△AGE与△CHF完全重合．

(2)要证GH、CF互相平分，需证四边形GFHE是平行四边形．

解：

(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠BAC＝∠DCA．

∵AF＝CE，

∴AE＝CF．

∵AG＝GH，

∴△AGE与△CHF重合．

(2)连结GF、EH，

∵GE平行且等于FH，

∴四边形GFHE是平行四边形，

GH、EF互相平分．

注意：用平行四边形的识别方法和特征可解决有关的相等或互补，线段相等或倍分，两直线平行等问题，一般是先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质解决有关问题．

【中考考点】

本节要求大家会用平行四边形的识别方法解决有关问题，并能和特征结合证题．

【命题方向】

本节多以填空题、证明题、综合题形式出现．

【常见错误分析】

错误：对角线平分的四边形是平行四边形．

误区分析：错误在“对角线平分”不够准确，词意含糊，不知两条对角线是怎么平分，应该改为“对角线互相平分”．

正解：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

【学习方法指导】

平行四边形的特征与识别表，对应记忆更有利于理解和区分．

【同步达纲练习】

一、填空题

1．四边形任意相邻两个内角都互补，那么这个四边形是_________．

2．中，AB＝2，BC＝3，∠B、∠C的平分线分别交AD于E、F，则EF＝_________．

3．一个四边形的边长依次是a、b、c、d，且，则这个四边形是_________．

4．把边长为4cm、5cm、6cm，两个完全重合的三角形拼成四边形，一共能拼成_________种不同的四边形，其中有_________个平行四边形．

5．在中，如果∠A的余角比∠B的补角大10°，那么∠A＝_________，∠B＝_________．

6．分别过△ABC的顶点作它的对边的平行线，围成△A′B′C′，已知△A′B′C′的周长为4 cm，则△ABC的周长为_________．

二、选择题

7．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是(    )．

A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D

C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，CB＝CD

8．下列条件中能判断四边形是平行四边形的是(    )．

A．一组对角相等 B．两条对角线互相垂直

C．两条对角线互相平分 D．一对邻角和为180°

三、解答题

9．在中，点E、F在AC上，且AF＝CE，点G、H分别在AB、CD上，且AG＝CH，AC与GH交于O，试说明GH、EF互相平分．

10．画平行四边形，使两条对角线长分别为10 cm，8 cm，一边长为7cm．

11．如图12-1-19，在中，E是AB上一点，F是CD上一点，且∠ADE＝∠CBF，四边形BFDE也是平行四边形吗？试说明理由．

12．在等腰△ABC中，AB＝AC，D为底边BC上一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，试说明AB＝DE＋DF．

13．如图12-1-20，在中，∠BAD和∠BCD的平分线分别交BC、AD于E、F，且分别交DC、BA的延长线于G、H，除外，指出图中其余的平行四边形．并说明理由．

14．如图12-1-21，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角处种有一棵大核桃树，田村准备开挖池塘养鱼池，想池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能请你设计并画出图形；若不能，请说明理由．

15．如图12-1-22，已知四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD，EF⊥AB于点F，E、D、A在一条直线上，那么有．请你说明理由．

参考答案

【同步达纲练习】

一、

1．平行四边形

2．1

3．平行四边形

4．6，3

5．40°；140°

6．2 cm

二、

7．C   8．C

三、

9．略．10．略．

11．提示：证△ADE与△CFB重合，

可得DE＝BF，AE＝CF．

∵ABCD为平行四边形，

∴AB＝DC，

∴BE＝DF，

∴四边形BFDE也是平行四边形．

12．由已知四边形AEDF为平行四边形，△EBD为等腰三角形，则DF＝AE，DE＝BE，所以AB＝AE＋BE＝DE＋DF．

13．四边形AHCG，解答略．

14．提示：分别过A、B、C、D作BD、AC的平行线，得即为所求．如图12-1-23．

15．提示：由于四边形ABCD是平行四边形，所以．又因为BD∥CE，所以四边形EDBC是平行四边形，可得BC＝DE，根据等量代换有AD＝DE．因为EF⊥AB于点F，E、D、A在同一直线上，所以在直角三角形AFE中有．