数学必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教案

  6.3.2  平面向量的的正交分解及坐标表示

1.会把向量正交分解；

2.会用坐标表示向量。

1.教学重点：平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示；

2.教学难点：平面向量的坐标表示。

1．平面向量的正交分解：

把一个向量分解为两个互相       的向量，叫做把向量正交分解．

2．平面向量的坐标表示：

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向     的两个    向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，      一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对       叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．显然，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)．

一、探索新知

1.平面向量的正交分解：

把一个向量分解为两个互相        的向量，叫作把向量正交分解。

思考1：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数对（即它的坐标）表示，那么，如何表示坐标平面内的一个向量呢？

【结论】向量的起点为原点时，向量的坐标与向量终点的坐标一致。

两向量相等时，坐标一样。

一．平面向量的正交分解：

把一个向量分解为两个互相       的向量，叫做把向量正交分解．

例1．如图，用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标。

二平面向量的坐标表示：

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向     的两个    向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，      一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对       叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．显然，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)．

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　)

(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　)

(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．(　　)

(4)点的坐标与向量的坐标相同．(　　)

2.如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________；________.

3.如图，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求点B和点D的坐标和与的坐标．

这节课你的收获是什么？

参考答案：

思考：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个不共线向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝xi+yj，则把有序数对（x，y），叫做向量a的坐标．记作a＝（x，y），此式叫做向量的坐标表示．

 作向量，设，所以。

例1.由图可知,a=+=xi+yj,

∴a=(2,3).

同理,b=-2i+3j=(-2,3);

c=-2i-3j=(-2,-3);

d=2i-3j=(2,-3).[来

达标检测

1.【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

【解析】　(1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样．

(2)正确．根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标．

(3)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关．

(4)错误．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐标．

2.【解析】因为＝(－1，－1)，

由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以＝(1，－1)，

同理＝(－1，1)．

3.【解析】由题意知B, D分别是30°，120°角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，

得x1＝cos30°＝，y1＝sin30°＝，

所以B.

x2＝cos120°＝－，

y2＝sin120°＝，

所以D.

所以＝，＝.