2021学年2.1合情推理与演绎推理课时作业

这是一份2021学年2.1合情推理与演绎推理课时作业，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列表述正确的是 ( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③ B．②③④
C．②④⑤ D．①③⑤
解析：归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
答案：D
2．下面使用类比推理恰当的是 ( )
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“eq \f(a＋b,c)＝eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“eq \f(a＋b,c)＝eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”
解析：由类比推理的特点可知．
答案：C
3．由eq \f(7,10)＞eq \f(5,8)，eq \f(9,11)＞eq \f(8,10)，eq \f(13,25)＞eq \f(9,21)，…若a＞b＞0且m＞0，则eq \f(b＋m,a＋m)与eq \f(b,a)之间大小关系为( )
A．相等 B．前者大 C．后者大 D．不确定
解析：观察题设规律，由归纳推理易得eq \f(b＋m,a＋m)＞eq \f(b,a)
答案：B
4．如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙按顺时
针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能
跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点．该青蛙从5这点跳
起，经2008次跳后它将停在的点是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：an表示青蛙第n次跳后所在的点数，则a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝1，a5＝2，
a6＝4，…，显然{an}是一个周期为3的数列，故a2008＝a1＝1.
答案：A
5．下列推理是归纳推理的是 ( )
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析：从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．
答案：B
二、填空题
6．定义集合A，B的运算：A⊗B＝{x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}，则A⊗B⊗A＝____________.
解析：如图，A⊗B表示的是阴影部分，设A⊗B＝C，运用类比的方法可知，C⊗A＝B，所以A⊗B⊗A＝B.
答案：B
7．在平面内有n(n∈N*，n≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n条直线把平面分成f(n)个平面区域，则f(5)的值是________．f(n)的表达式是________．
解析：本题是一道推理问题．通过动手作图，可知f(3)＝7，f(4)＝11，f(5)＝16，从中可归纳推理，得出f(n)＝f (n－1)＋n，则f(n)－f(n－1)＝n，
f(n－1)－f(n－2)＝n－1，
f(n－2)－f(n－3)＝n－2，
f(5)－f(4)＝5，
f(4)－f(3)＝4，
将以上各式累加得：
f(n)－f(3)＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋5＋4＝eq \f((4＋n)(n－3),2)，
则有f(n)＝eq \f((4＋n)(n－3),2)＋f(3)＝eq \f((4＋n)(n－3),2)＋7
＝eq \f(n2＋n＋2,2)
答案：16 eq \f(n2＋n＋2,2)
8．(2010·长春模拟)有如下真命题：“若数列{an}是一个公差为d的等差数列，则数列{an＋an＋1＋an＋2}是公差为3d的等差数列．”把上述命题类比到等比数列中，可得真命题是“________________.”(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)
答案：若数列{bn}是公比为q的等比数列，则数列{bn·bn＋1·bn＋2}是公比为q3的等比数列；
或填为：若数列{bn}是公比为q的等比数列，则数列{bn＋bn＋1＋bn＋2}是公比为q的等比数列．
9．方程f(x)＝x的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)＝eq \f(x,a(x＋2))有唯一不动点，且x1＝1000，
xn＋1＝eq \f(1,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,xn))))(n∈N*)，则x2011＝________.
解析：由eq \f(x,a(x＋2))＝x得ax2＋(2a－1)x＝0.
因为f(x)有唯一不动点，
所以2a－1＝0，即a＝eq \f(1,2).
所以f(x)＝eq \f(2x,x＋2).所以xn＋1＝eq \f(1,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,xn))))＝eq \f(2xn＋1,2)＝xn＋eq \f(1,2).
所以x2011＝x1＋eq \f(1,2)×2010＝1000＋eq \f(2010,2)＝2005.
答案：2005
三、解答题
10．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq \f(3,2)，
sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq \f(3,2).
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．
解：一般性的命题为
sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝eq \f(3,2).
证明如下：
左边＝eq \f(1－cs(2α－120°),2)＋eq \f(1－cs2α,2)＋eq \f(1－cs(2α＋120°),2)
＝eq \f(3,2)－eq \f(1,2)[cs(2α－120°)＋cs2α＋cs(2α＋120°)]
＝eq \f(3,2)＝右边．
∴结论正确．
11．已知等差数列{an}的公差d＝2，首项a1＝5.
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)设Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律．
解：(1)Sn＝5n＋eq \f(n(n－1),2)×2＝n(n＋4)．
(2)Tn＝n(2an－5)＝n[2(2n＋3)－5]，
∴Tn＝4n2＋n.
∴T1＝5，T2＝4×22＋2＝18，T3＝4×32＋3＝39，
T4＝4×42＋4＝68，T5＝4×52＋5＝105
S1＝5，S2＝2×(2＋4)＝12，S3＝3×(3＋4)＝21，
S4＝4×(4＋4)＝32，S5＝5×(5＋4)＝45.
由此可知S1＝T1，当n≥2时，Sn＜Tn.
归纳猜想：当n≥2，n∈N时，Sn＜Tn.
12．已知函数f(x)＝－eq \f(\r(a),ax＋\r(a))(a＞0且a≠1)，
(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点(eq \f(1,2)，－eq \f(1,2))对称；
(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
解：(1)证明：函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点(eq \f(1,2)，－eq \f(1,2))对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．
由已知得y＝－eq \f(\r(a),ax＋\r(a))，则
－1－y＝－1＋eq \f(\r(a),ax＋\r(a))＝－eq \f(ax,ax＋\r(a))，
f(1－x)＝－eq \f(\r(a),a1－x＋\r(a))＝－eq \f(\r(a),\f(a,ax)＋\r(a))＝－eq \f(\r(a)·ax,a＋\r(a)·ax)
＝－eq \f(ax,ax＋\r(a))，∴－1－y＝f(1－x)，
即对称点(1－x，－1－y)也满足函数y＝f(x)．
∴函数y＝f(x)的图象关于点(eq \f(1,2)，－eq \f(1,2))对称．
(2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)，
即f(x)＋f(1－x)＝－1.
∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，
f(0)＋f(1)＝－1，
则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3. 命 题 报 告
难度及题号
知识点
容易题
(题号)
中等题
(题号)
稍难题
(题号)
归纳推理
3、4
5、7、
9、10
11
类比推理
2
6、8
演绎推理
1
12