高中数学人教版新课标A选修2-22.1合情推理与演绎推理复习练习题

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-22.1合情推理与演绎推理复习练习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．下列推理是归纳推理的是( )
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析：从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.
答案：B
2．设n为正整数，f(n)＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)，经计算得f(2)＝eq \f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq \f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq \f(7,2)，观察上述结果，可推测出一般结论( )
A．f(2n)>eq \f(2n＋1,2) B．f(n2)≥eq \f(n＋2,2)
C．f(2n)≥eq \f(n＋2,2) D．以上都不对
解析：f(2)＝eq \f(3,2)，f(4)＝f(22)>eq \f(2＋2,2)，f(8)＝f(23)>eq \f(3＋2,2)，f(16)＝f(24)>eq \f(4＋2,2)，f(32)＝f(25)>eq \f(5＋2,2).
由此可推知f(2n)≥eq \f(n＋2,2).故选C.
答案：C
3．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：由演绎推理的三段论可知答案应为A.
答案：A
4．若点P是正四面体A－BCD的面BCD上一点，且P到另三个面的距离分别为h1，h2，h3，正四面体A－BCD的高为h，则( )
A．h>h1＋h2＋h3 B．h＝h1＋h2＋h3
C．h解析：由点P是正三角形ABC的边BC上一点，且P到另两边的距离分别为h1，h2，正三角形ABC的高为h，由面积相等可以得到h＝h1＋h2.于是，采用类比方法，平面上的面积类比空间中的体积，可得答案为B.
答案：B
5．下图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续逐个叠放下去，那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是( )
A．25 B．66
C．91 D．120
分析：求解此题，如果按照前三个图所示的规律继续叠放，叠放至第七个图形后再去数图中小正方体木块数，自然也可以得出结论，但显然是太麻烦了，故还是应采取归纳推理的方法求解．
解析：图1是1个小正方体木块，
图2是2＋1×4个小正方体木块，
图3是3＋(1＋2)×4个小正方体木块，
按照前三个图所反映出来的规律，归纳推理可知，第七个叠放的图形中小正方体的木块数应是7＋(1＋2＋3＋…＋6)×4＝91.选C.
答案：C
6．观察下列数表规律
则从数2009到精选考题的箭头方向是( )
解析：因下行奇数是首项为1，公差为4的等差数列．若2009在下行，则2009＝1＋(n－1)×4⇒n∈N*，故2009在下行，又因为下行奇数的箭头为，故选B.
答案：B
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．把正有理数排序：eq \f(1,1)，eq \f(2,1)，eq \f(1,2)，eq \f(3,1)，eq \f(2,2)，eq \f(1,3)，eq \f(4,1)，eq \f(3,2)，eq \f(2,3)，eq \f(1,4)，…，则数eq \f(1989,1949)所在的位置序号是________．
分析：求解此题，如果要是按照排序规律写到分数eq \f(1989,1949)后，再去数它所在的位置序号，那简直是不可想象的麻烦事情．因此，求解此题就必须考虑如何利用归纳推理的方法来求解了．所以求解此题的关键就是要从给出的这些分数中找出他们依次出现的特点．
解析：从所给有理数的排序规律可以发现，它们是由分子与分母的和依次为2,3,4，…的分数段“拼”成的．
因为分数eq \f(1989,1949)的分子、分母和为3938，所以归纳推理可知，它是第3937段的第1949个数．
故序号为(1＋2＋…＋3936)＋1949＝7749965.
答案：7749965
评析：一般来说，利用归纳推理的方法来解题或猜想出一般的结论，最关键的是要善于发现已知个体所隐藏的共同规律．只有找到了这种规律，你才能够进行猜想．
8．已知等差数列{an}中，a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，那么等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式________成立．
解析：这是一个由等差数列与等比数列类比的题目，由于二者的参照物不同，因此我们要先进行分析，从二者的本质即数列的结构找到突破口，如下表所示：
由题设，若ak＝0，那么有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a2k－1－n(n<2k－1，n∈N*)成立．由等差数列与等比数列的加乘转换性质，我们可以类比得出这样的结论：b1b2·…·bn＝b1b2·…·b2k－1－n(n<2k－1，n∈N*)成立．结合本题k＝9，得2k－1－n＝17－n，故本题应填：b1b2·…·bn＝b1b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)．
答案：b1b2·…·bn＝b1b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)
评析：本题为往年一高考题，类比结论有较高的难度，本题易出现的错误是多方面的，可能仍然写成和的形式，也可能不会应用b9＝1这一条件进行类比．
9．(精选考题·陕西)观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________．
解析：观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152.
答案：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)
10．下图中的线段规则排列，试猜想第8个图形中的线段条数为________．
分析：先求出这4个图形中的线段条数，然后归纳出数字的规律，再利用这个规律求第8个图形中的线段条数．
解析：图形①～④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中的线段条数应为28＋1－3＝509.
答案：509
评析：本题主要考查归纳推理，属于图表归纳型，解答此类问题一般有两个途径：一是利用前若干个图形中子图形的个数来归纳；二是利用图形变化的规律来归纳．
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．观察下列等式：
①sin210°＋cs240°＋sin10°cs40°＝eq \f(3,4)；
②sin26°＋cs236°＋sin6°cs36°＝eq \f(3,4).
由上面两题的结构规律，你是否能提出一个猜想？并证明你的猜想．
解：由①②可看出，两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为eq \f(3,4).
猜想：若β－α＝30°，则β＝30°＋α，
sin2α＋cs2β＋sinαcsβ＝eq \f(3,4)，
也可直接写成sin2α＋cs2(α＋30°)＋sinαcs(α＋30°)＝eq \f(3,4).
下面进行证明：
左边＝eq \f(1－cs2α,2)＋eq \f(1＋cs(2α＋60°),2)＋sinαcs(α＋30°)
＝eq \f(1－cs2α,2)＋eq \f(1＋cs2αcs60°－sin2αsin60°,2)＋sinα(csα·cs30°－sinαsin30°)
＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)cs2α＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)cs2α－eq \f(\r(3),4)sin2α＋eq \f(\r(3),4)sin2α－eq \f(1－cs2α,4)
＝eq \f(3,4)＝右边．
故sin2α＋cs2(α＋30°)＋sinαcs(α＋30°)＝eq \f(3,4).
12．在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：eq \f(1,AD2)＝eq \f(1,AB2)＋eq \f(1,AC2)，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
解：如图(1)所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，
∴eq \f(1,AD2)＝eq \f(1,BD·DC)
＝eq \f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq \f(BC2,AB2·AC2).
又BC2＝AB2＋AC2，
∴eq \f(1,AD2)＝eq \f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq \f(1,AB2)＋eq \f(1,AC2).
所以eq \f(1,AD2)＝eq \f(1,AB2)＋eq \f(1,AC2).
猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想
四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则eq \f(1,AE2)＝eq \f(1,AB2)＋eq \f(1,AC2)＋eq \f(1,AD2).
如图(2)，连接BE交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD.
而AF⊂面ACD，
∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，
AE⊥BF，
∴eq \f(1,AE2)＝eq \f(1,AB2)＋eq \f(1,AF2).
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴eq \f(1,AF2)＝eq \f(1,AC2)＋eq \f(1,AD2).
∴eq \f(1,AE2)＝eq \f(1,AB2)＋eq \f(1,AC2)＋eq \f(1,AD2)，故猜想正确．
13．下面的(a)、(b)、(c)、(d)为四个平面图．
(1)数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表(按填好的例子做)．
(2)观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？
(3)现已知某个平面图有2008个顶点，且围成了2008个区域，试根据以上关系确定这个平面图的边数．
解：(1)填表如下：
(2)由上表可以看出，所给的四个平面图的顶点数、边数及区域数之间有下述关系：
4＋3－6＝1
8＋5－12＝1
6＋4－9＝1
10＋6－15＝1
由此，我们可以推断：任何平面图的顶点数、边数及区域数之间，都有下述关系：
顶点数＋区域数－边数＝1.
(3)由(2)中所得出的关系，可知所求平面图的边数为：
边数＝顶点数＋区域数－1＝2008＋2008－1＝4015.
.
特征
等差数列
等比数列
运算符号
和(差)
积(商)
通项
an
bn
公差(比)
d
q
前n项和
Sn
Tn
特殊项
0
1
等式结构
左边n项，
右边19－n项
左边n项，
右边17－n项
符号转换
加法
乘法
减法
除法
关键词
a10＝0
b9＝1
顶点数
边数
区域数
(a)
4
6
3
(b)
(c)
(d)
顶点数
边数
区域数
(a)
4
6
3
(b)
8
12
5
(c)
6
9
4
(d)
10
15
6