人教版新课标A选修2-11.1命题及其关系学案

这是一份人教版新课标A选修2-11.1命题及其关系学案，共13页。

常用逻辑用语


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常用逻辑用语
简易逻辑
逻辑联结词
简单命题与复合命题
命题的四种形式及其关系　
充要条件
全称量词与存在量词　










第1讲 命题及其关系,充分条件与必要条件

★ 知 识 梳理 ★
1．用语言、符号或式子表达的，可以判断真假、的陈述句称为命题．
其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题
2．（1）如果第一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论_
和条件_，那么这两个命题叫互逆命题.
（2）如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定
和结论的否定，那么这两个命题叫互否命题.
（3）如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定_
和_条件的否定_____，那么这两个命题叫互否命题.
3．一般地，把条件的否定和结论的否定，分别记为“┐”和“┐”，则命题的四种形式可写为：
原命题： “若若”
逆命题： “若若”
否命题： “若 ┐是 ┐”
逆否命题： “若 ┐是 ┐”







特别提醒：可以发现：
（1）原命题、逆命题、否命题、逆否命题的关系如下图所示：
原命题
若p则q
逆命题
若q则p
否命题
若非p则非q
逆否命题
若非q则非p
互逆

互 互
互 为 为 互
否 逆 逆 否
否 否

互逆














（2）互为逆否命题的真假性是一致的, 互逆命题或互否命题真假性没有关系.

4. 用反证法证明的一般步骤是：
(1) 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
(2) 归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
(3) 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
特别提醒：
1、适宜用反证法证明的数学命题：
(1) 结论本身以否定形式出现的命题.
(2)关于唯一性、存在性的的命题.
(3)结论以“至多”，“至少”等形式出现的命题.
(4)结论的反面比原结论更具体或更易于研究的命题.
2. 用反证法证明引出矛盾的四种常见形式:
(1)与定义、公理、定理矛盾.
(2)与已知条件矛盾.
(3)与假设矛盾.
(4)自相矛盾.
5． 如果“若则”为真, 记为, 如果“若则”为假, 记为.
6．若则是的充分, 是的必要___
7．判断方法： （1）定义法：
① p是q的充分不必要条件　② p是q的必要不充分条件
③ p是q的充要条件　　 ④　p是q的既不充分也不必要条件
（2）集合法： 设P={p}, Q={q},
①　若__ PQ, 则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.
②　若___ P=Q _______，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.
③　若______ P Q且Q P _______， 则p是q的既不充分也不必要条件.
（3） 逆否命题法：
①q 是p的充分条件不必要条件p是q的______充分条件不必要条件_
②q 是p的必要条件不充分条件p是q的___充分条件不必要条件
③q 是p的充分要条件p是q的__________充要条件_____
④q 是p的既不充分条件与不必要条件p是q的__既不充分条件与不必要条件_
特别提醒：
1、解决充要条件的逆向问题时, 往往从集合角度考虑, 会更文便快捷, 设P={p}, Q={q},
① 若p是q的充分不必要条件，则PQ
② 若q是p的必要不充分条件，则PQ
③ 若P=Q ，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.
④ 若P Q且Q P， 则p是q的既不充分也不必要条件.
2、 证明p是q的充要条件，既要证“”，又要证“”，前者证明的是充分性；，后者证明的必要性.

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：初步掌握四种命题的关系，并能判断四种命题的真假；初步掌握利用反证法证明一些问题；正确理解三个概念，并在分析中正确判断.正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能用定义法、集合法和逆否命题法来判断命题是命题的什么条件.
2.难点：利用反证法证题；充要条件的证明.
3.重难点：.
(1) 与命题相关的判析
问题1：下列语句中哪些是命题？其中哪些是真命题？
①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；
②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”；
③“一个数不是正数就是负数”；
④“珠海是一个多么美丽的海滨城市啊！”；
⑤“为有理数，则、也都是有理数”；
⑥ “作∽”.
解：根据命题的概念，判断是否为命题，若是，再判断真假.
① 通过反问句，对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题.
② 疑问句，没有垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断, 不是命题；
③ 是假命题, 数0既不是正数也不是负数.
④ 感叹句, 不是命题.
⑤ 是假命题, 如.
⑥ 祈使句, 不是命题.
命题有: ①③⑤ ；真命题有: ①
点拨: 判断一个语句是否是命题, 关键在于能否判断其真假. 一般地, 陈述句、反问句都是命题，而疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.
问题2：你能将把下列命题写成“若若”的形式，并判断其真假吗?
(1) 实数的平方是非负数.
(2) 等底等高的两个三角形是全等三角形.
(3) 能被6整除的数既能被3整除也能被2整除.
(4) 弦的垂直平分线经过圆心, 并平分弦所对的弧.

解：(1) 若一个实数, 则它的平方是非负数. 这个命题是真命题.
(2) 若两个三角形等底等高, 则这个三角形是全等三角形. 这个命题是假命题.
(3) 若一个数能被6整除的数, 则它既能被3整除也能被2整除.
(4) 若一条直线是弦的垂直平分线, 则它经过圆心并平分弦所对的弧.

点拨:将命题写成“若若”形式时, 一定要注意找出命题的条件和结论, 同时要注出意叙述条件和结论完整性.
（2）能掌握判断充要条件的三种基本方法，并能根据具体问题选择使用.
问题3: 下列四个命题中真命题有哪几个?
①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题 ②“面积相等的三角形全等”的否命题 ③“若m≤1，则方程x2－2x+m=0有实根”的逆否命题 ④“若A∩B=B，则AB”的逆否命题
解析: ①的逆命题为“若x、y互为倒数, 则xy=1”, 是真命题;
②的否命题为“面积不相等的三角形不全等”, 是真命题;
③“若m≤1, 则x2-2x+m=0有实根”为真命题, 因此其逆否命题也为真命题;
④“若A∩B=B, 则AB”为假命题, 则其逆否命题也为假命题.
真命题有①②③
点拨: 在判断原命题及其逆命题、否命题、逆否命题的真假时，可以借助原命题与逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假.

问题4．你能判断下列命题的真假吗?
（1）已知若
（2）若无实数根。
解：⑴ 因为“已知若”的逆否命题是：
“已知若”
我们不难举反例说明其逆否命题不正确，从而原命题是假命题。
(2) 因为“若无实数根”的逆否命题是：
“若方程有实数根，”
当方程有实数根时，成立。故其逆否命题正确，从而原命题是真命题；

点拨:利用互为逆否的两个命题同真同假的关系，将不易判断真假的命题，转化为判断其逆否命题的真假（尤其是对否定式语句的命题）——充分利用等价转化的思想方法。

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一：命题及其相互关系
题型1. 判断命题及真假

[例1] 陈述句“在2016年，法国巴黎将举办第31届夏季奥林匹克运动会”是命题吗？
[解题思路]：判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”
解析：是命题，在2016年，法国巴黎将举办第31届夏季奥林匹克运动会，是真是假，虽然目前还无法确定，但是随着时间推移，总能确定它的真假，所以我们把这类猜想仍算为命题.
[例2] 广东省深圳外国语学校2009届高三上学期第二次统测）
下列四个命题中，真命题的个数为（ ）A
（1）若两平面有三个公共点，则这两个平面重合；
（2）两条直线可以确定一个平面；
（3）若；
（4）空间中，相交与同一点的三条直线在同一平面内。
A.1 B.2 C.3 D.4
[解题思路]：根据命题本身涉及的知识去判断真假，判断一个命题为真，一般要进行严格的逻辑推理，但判断一个命题为假，只要举出一个反例即可.
解析：（1）是假命题，两平面也可能相交；（2）是假命题，若两直线是异面直线，不可能确定一个平面；（4）是假命题，两相交直线确定一个平面，第三条直线过该交点，可与该平面相交。
【名师指引】判断一个语句是否是命题, 关键在于能否判断其真假.
【新题导练】
1．下列命题中是假命题的是（ ）
（A）矩形的对角线相等 （B）若是奇数，则是奇数
（C） （D）若，则
答案: C
2．（广东省华南师范附属中学2009届高三综合测试）
以下命题：
① 二直线平行的充要条件是它们的斜率相等；
② 过圆上的点与圆相切的直线方程是；
③ 平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；
④ 抛物线上任意一点到焦点的距离都等于点到其准线的距离。
其中正确命题的标号是 。
答案；②④
题型2。写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题
[例3] 写出下述命题逆命题、否命题、逆否命题.
（1）若，则全为0 .
（2）若是偶数，则都是偶数.
（3）若，则
[解题思路]：“都”的否定词是“不都”，而不是“都不”，同理“全”的否定词是“不全”，而不是“全不”. 另外，原命题中的“或”，在否命题中要改为“且”. 要认真体会它们的区别.
解析: 因为原命题是“若若”的形式, 根据其他三种命题的构造方法, 分别写出逆命题、否命题、逆否命题.
解答：（1）逆命题：若全为0，则.
否命题：若，则不全为0 .
逆否命题：若不全为0，则.
（2）逆命题：若都是偶数，则是偶数.
否命题：若不是偶数，则不都是偶数.
逆否命题：若不都是偶数，则不是偶数.
（3）逆命题：若，则.
否命题：若，则
逆否命题：若，则.
【名师指引】认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假
【新题导练】
3. （广东省湛江市实验中学2009届高三第四次月考（数学理））
命题“若＞0，则”的逆命题是
答案： 逆命题是“若”
4．（2009年广东省广州市高三年级调研测试）命题“”的否命题是 （ ）
A. B.
C. D.
答案： C
题型3。四种命题间的关系与反证法
[例4]若a、b、c∈R，写出命题“若ac＜0，则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假

[解题思路]：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假
解析：逆命题：若ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）有两个不相等的实数根，则ac＜0；是假命题，如当a=1，b=－3，c=2时，方程x2－3x+2=0有两个不等实根x1=1，x2=2，但ac=2＞0
否命题：若ac≥0，则方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）没有两个不相等的实数根；是假命题. 这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题
逆否命题：若ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）没有两个不相等的实数根，则ac≥0；是真命题. 因为原命题是真命题，它与原命题等价
[例5] 用反证法证明：
设三个正实数a、b、c满足条件=2求证：a、b、c中至少有两上不小于1.
[解题思路]：用反证法证题时作出正确的反设是前提，“a, b, c中至多有一个数不小于1”的反设为“a, b, c中至多有一个数不小于1”，有两种情况“a、b、c三数均小于1”和“a、b、c中有两数小于1”；而推出矛盾是关键，也是难点.
解析：证明：假设a, b, c中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况：
（1）a、b、c三数均小于1，
即0 ∴>3与已知条件矛盾；
（2）a、b、c中有两数小于1，
设0 ∴>2+>2，也与已知条件矛盾；
∴假设不成立，∴a、b、c中至少有两个不小于1.
【名师指引】利用互为逆否的两个命题同真同假的关系，将不易判断真假的命题，转化为判断其逆否命题的真假（尤其是对否定式语句的命题），充分利用等价转化的思想方法。正确的反设是（即否定结论）是正确运用反证法的前提，要注意一些常用的“结论否定形式”，另外，需注意作出的反设必须包括与结论相反的所有情况。
【新题导练】
5．（广东省汕头市澄海区2008年统测）
命题：“设、、，若则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：C
6．（广东省普宁市城东中学2009届高三上学期第三次月考）
命题：“若，则”的逆否命题是（ ）
A若，则 B.若，则
C.若，则 D. .若，则
答案：A
7．若x、y、z均为实数，且a=x2－2y+，b=y2－2z+，c=z2－2x+，则a、b、c中是否至少有一个大于零？请说明理由.
分析：“a、b、c中是否至少有一个大于零”包括多种情况，正面解决很复杂，可考虑反面入手，利用反证法证明，但如何导出矛盾颇有技巧.
解：假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0.
而a+b+c=x2－2y++y2－2z++z2－2x+=（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2+π－3，
∵π－3＞0，且无论x、y、z为何实数，
（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2≥0，
∴a+b+c＞0.这与a+b+c≤0矛盾.因此，a、b、c中至少有一个大于0.
考点二: 充要条件及其判定
题型1:利用定义作判断
[例6] （2008学年中山市一中高三年级统测试题）
在中，“”是“”的
A．充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解题思路]：判定p是q的充要条件，既要看“”是否为真，又要看“”否为真, 只有都为真时, p才是q的充要条件.
解析：A “” “”但反之不成立，故选A
【名师指引】定义判断的重要依据。
【新题导练】
8．（2009届省实高三次月考数学试题）
函数有极值的充要条件是 （ ）
A． B． C． D．
答案：D
9．“” 是“函数在区间上为增函数”的 （ ）
A．充分条件不必要 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
题型2: 从集合思想或利用逆否命题判定
[例7] （广东省四会中学2009届高三上学期第一次质量检测）
“成立”是“成立”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
[解题思路]：当直接判断p是q什么条件较困难时, 可借助于集合或利用逆否命题来考虑 , 会更快捷和准确.
解析：的解集是，的解集是
∵AB ∴选A
[例8]（广东省普宁市城东中学2009届高三上学期第三次月考）
若，则成立的一个充分不必要的条件是（ ）
A. B. C. D.
[解题思路]： 以选项为条件，要能得到，但反之不成立
解析：C 可以取反例，易得只有C答案
【名师指引】解答充分与必要条件问题时，要根据命题的特点，在三种方法(定义法、集合法和逆否命题法) 中选择一种进行判断，而且还依赖于问题本身所涉及到的具体数学内容的掌握与理解程度.
【新题导练】
10． （广东省黄岐高级中学2009届高三上学期月月考）
设集合，，那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
11．（广东省深圳市2009 届高三九校联考）
设、是方程的两个实根。那么“且”是“两根、均大于”的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B


★ 抢 分 频 道 ★
基础巩固训练
1. 下列语句中命题的个数是( )
① 地球是太阳系的一颗行星； ② ；③ 这是一颗大树；④ ；⑤ ⑥ 老年人组成一个集合；
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①②⑤⑥是命题，故选D
2. 设原命题：若，则 中至少有一个不小于1.
则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）A
A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
答案： A. 提示：=1.2，=0.3，则=1.52，∴逆命题为假.
3．（广东省四会中学2009届高三质量检测）
△ABC中“”是“△ABC为钝角三角形”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
答案：B
4． （广东省深圳外国语学校2009届高三统测）
若是常数, 则“且”是“对任意,有”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案： “对任意,有”的等价命题是：a=0时，必有b=0；或时，。选A
5．（ 广东省北江中学2009届高三上学期12月月考 (数学理)）
“”是“的展开式的第三项是60”的________条件 （ ）
A.充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
答案：A
6． (黄家中学高08级十二月月考)
条件：，条件：在内是增函数，则是的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案：∵在内是增函数
∴，
∴ ∴且 ∴是的充分不必要条件 故选B；

综合拔高训练
7．用反证法证明：“已知x、y∈R，x+y≥2，求 证x、y中至少有一个大于1”. 则所作的反设是
答案: 假设x<1且y<1

8．写出命题“乘积为奇数的两个整数都不是偶数”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假.
解：典型错解: 原命题可写成：若两个整数的乘积为奇数，则它们都不是偶数, 是真命题.
逆命题：若两个整数的乘积都不是偶数，则这两个整数的乘积为奇数, 是真命题.
否命题：若两个整数的乘积不为奇数，则这两个整数不都是偶数, 是真命题.
逆否命题：若两个整数中不都是偶数，则这两个整数的乘积不为奇数, 是真命题.
否命题：若两个整数的乘积不为奇数，则这两个整数至少有一个是偶数；
点拨: 对“都不”的否定，许多同学都误认为是“不都”，这是错误的，应为“至少有一个”, 而“不都”是对“都”的否定.
正确解答: 原命题可写成：若两个整数的乘积为奇数，则它们都不是偶数, 是真命题.
逆命题：若两个整数的乘积都不是偶数，则这两个整数的乘积为奇数, 是真命题.
否命题：若两个整数的乘积不为奇数，则这两个整数至少有一个是偶数, 是真命题.
逆否命题：若两个整数中至少有一个是偶数，则这两个整数的乘积不为奇数, 是真命题.

9． （2008学年中山市一中高三年测试题理科数学）
已知：，：
且是的必要不充分条件，求实数的取值范围。
解：由
即为： …………………4分
而为：， ………………………6分
又是的必要不充分条件， 即
所以
即实数的取值范围为。 ………………………12分
10．已知：a、b、c是互不相等的非零实数.
求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.
证明（反证法）：假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0.
相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，
（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0. ①
由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.


备用：
1．（广东省珠海市斗门第一中学2009届高三模拟）
是的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2．（广东省湛江市实验中学2009届高三月考（数学理））
“a+b＞4且ab＞4”是“a＞2且b＞2”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：B
3．（广东省恩城中学2009届高三模拟）
已知命题p：，命题q：，则的_ _条件(填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件)。
答案：充分不必要条件；
4．（广东省汕头市金山中学2009届高三期中考试（数学理））
函数的定义域为集合，函数的定义域为集合． （1）判定函数的奇偶性，并说明理由．
（2）问：是的什么条件（充分非必要条件 、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？ 并证明你的结论．
15. 解：A={x|
∴ -1 ∴A=（-1，1），定义域关于原点对称
f（-x）=lg= lg= lg， ∴f（x）是奇函数.
（2）B={x|

B=[-1-a，1-a]
当a ³2时， -1-a£-3， 1-a£-1，
由A=（-1，1）， B=[-1-a，1-a]， 有
反之，若，可取-a-1=2，则a=-3，a小于2. （注：反例不唯一）
所以，a ³2是的充分非必要条件。