高中数学人教版新课标A选修2-12.2椭圆导学案

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-12.2椭圆导学案，共5页。学案主要包含了学习目标，考纲要求，自主学习，基础自测等内容，欢迎下载使用。

① 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
② 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．
【考纲要求】
椭圆方程为B级要求
【自主学习】
1．椭圆的定义
(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距．
注：①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是 ．
②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程
(1) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，其中( > >0，且 )
(2) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是，其中a，b满足： ．
3．椭圆的几何性质(对,a > b >0进行讨论)
(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤
(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．
(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；
(4) 离心率： ( 与 的比)， ，越接近1，椭圆越 ；越接近0，椭圆越接近于 ．
(5) 椭圆的参数方程为 ．
4．焦点三角形应注意以下关系：
(1) 定义：r1＋r2＝2a
(2) 余弦定理：＋－2r1r2cs＝(2c)2
(3) 面积：＝r1r2 sin＝·2c| y0 |(其中P()为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝)
【基础自测】
1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 .
2.若椭圆=1的离心率为，则实数m= .
3设椭圆+=1(m＞0,n＞0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 .
4（2008·江苏，12）在平面直角坐标系中，椭圆(a＞b＞0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率e= .
[典型例析]
例1（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0），求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（，1）、P2（-，-），求椭圆的方程.
例2. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°.
（1）求椭圆离心率的范围；
（2）求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
例3已知椭圆E的中心在坐标原点O，经过两点A(1， eq \f(2\r(5),5))，B(－2， eq \f(\r(5),5))．圆F的圆心是椭圆E的右焦点F，且圆F的半径恰等于椭圆的短半轴长．
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程；
(Ⅱ)若点P是圆F上的一个动点，求 eq \(\s\up8 (),FP) eq \(\s\up8 (),OP)的取值范围．
[当堂检测]
1. 已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是 .
2. 若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为 .
3. 已知以F1（-2,0），F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 .
4 经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A、B两点，设O为坐标原点，则·等于 .
解 (Ⅰ)设椭圆E的标准方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．………………2分
因为A(1， eq \f(2\r(5),5))，B(－2， eq \f(\r(5),5))在椭圆E上，所以 eq \b\lc\{(\a\al(m＋eq \f(4,5)n＝1，,4m＋ eq \f(1,5)n＝1，))…………………4分
解得 m＝ eq \f(1,5)，n＝1，满足条件．
所以所求椭圆E的标准方程为 eq \f(x2,5)＋y2＝1．…………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆E的右焦点为F(2，0)，短半轴长为1，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝1，所以圆F的方程为(x－2)2＋y2＝1．……8分
设P(x，y)，则 eq \(\s\up8 (),FP)＝(x－2，y)， eq \(\s\up8 (),OP)＝(x，y)，所以
eq \(\s\up8 (),FP)· eq \(\s\up8 (),OP)＝x (x－2)＋y2＝x2＋y2－2x＝2x－3． …………………………10分
因为(x－2)2＋y2＝1，所以(x－2)2≤1，即－1≤x－2≤1，得1≤x≤3．
所以 －1≤2x－3≤3，
即 eq \(\s\up8 (),FP)· eq \(\s\up8 (),OP)的取值范围为[－1，3]．………………………………………………………14分
解法二 由(Ⅰ)知椭圆E的右焦点为F(2，0)，短半轴长为1，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝1，所以圆F的方程为(x－2)2＋y2＝1．…………………………………8分
设P(2＋csθ，sinθ)，θ∈R，则
eq \(\s\up8 (),FP)＝(csθ，sinθ)， eq \(\s\up8 (),OP)＝(2＋csθ，sinθ)，
所以 eq \(\s\up8 (),FP)· eq \(\s\up8 (),OP)＝csθ(2＋csθ)＋(sinθ)2＝2csθ＋1．……………………12分
因为－1≤csθ≤1，所以－1≤2csθ＋1≤3，
即 eq \(\s\up8 (),FP)· eq \(\s\up8 (),OP)的取值范围为[－1，3]．……………………………………………………14分
评注：(Ⅰ)中求椭圆E的标准方程时，若设 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则扣2分．这里需要分类讨论，情况 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)不可能．