高中数学人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理第1课时教案

1.1.1  正弦定理

【教学目的】

1.理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；

2.理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性。

【教学重点】

正弦定理的证明和理解

【教学难点】

正弦定理的证明

【教学过程】

一．新课引入：

初中学习了全等三角形只要根据已知条件就能判断三角形是否全等。能否根据给定条件算出三角形的未知边与未知角？这就是解三角形。解三角形有几个重要定理，今天学习其中之一----正弦定理

问题1.在直角三角形ABC中，对应边依次为a,b,c，求证：==

【猜想与推广】

正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，

即  == =2R（R为△ABC外接圆半径）

证明：

2．斜三角形中

证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中

S△ABC=

 两边同除以即得：==

证明二：（外接圆法）

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ

∴

同理 =2R，＝2R

证明三：（向量法）

过A作单位向量垂直于

由　+=     

两边同乘以单位向量 得 •(+)=•

则•+•=•

∴||•||cos90+||•||cos(90C)=||•||cos(90A)

∴   ∴=

同理，若过C作垂直于得： =   ∴==

二．正弦定理的应用

定理剖析，加深理解

⑴正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，即：

⑵从表达式的结构看，正弦定理所表达的边与对角的正弦的比是严格的对边与对角的正弦比。这种对应关系是严谨的，也是和谐的，它体现了数学的一种和谐美。

⑶从方程的观点看，表达式中每一个等号所形成的等式中，含有四个量，显然可“知三求一”。于是，正弦定理可解决两类有关解三角形的问题：

①已知两边与任一边，求其他两边和一角；

②已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求出其他的边和角。

例1 已知在

解：

∴

由得  

由得

例2 在

解：∵

∴

【比较例1，例2】体会：

例3

解：

，

【变式】

【探索】

(*)例4 已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC

四、课堂练习：

1在△ABC中，,则k为(    )

A2R      BR             C4R      D(R为△ABC外接圆半径)

2△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为(    )

A直角三角形  B等腰直角三角形C等边三角形   D等腰三角形

(*)3在△ABC中，求证：

五、小结  正弦定理，两种应用

六、课后作业：

1在中，已知，，，求

2在中，已知，，，求

3在△ABC中，已知，求证：2b2＝a2＋c2

4．在△ABC中，已知试判断△ABC的形状。

(**)5.在中,内角A、B、C的对应三边分别为,已知

,若满足对任意三角形都成立,求实数的取值范围

利用正弦定理解三角形时，解的问题的探讨：

已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:

⑴若A为锐角时:

⑵若A为直角或钝角时:

【变式练习】

1根据下列已知条件，判定有没有解，若有解，判断解的个数：

⑴，，，求

⑵，，，求

⑶，，，求

⑷，，，求

⑸，，，求

⑹，，，求

(⑴,只能为锐角,因此仅有一解.图示

⑵,只能为锐角,因此仅有一解.图示

⑶∵,即,∴仅有一解. 图示

⑷即例2，先让学生判断，然后回忆对照。再次理解本题有两解。

⑸即例3，先让学生判断，然后回忆对照。再次理解本题仅有一解。

⑹由⑶改编，∵，由图知，本题无解)

2．已知A,B,C是的三个内角，求证：

3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，求的值

（*）4. 在中，求证

作业：

1. 在中,已知,,在分别为20, ,,和5的情况下,求相应的角C.

2．在中，b=2a, B=A,求A

3.在中，角所对的边分别为．若，求角．

(*)4..课本11页B组   1