高中数学人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理第2课时教案设计

1．1．2  余弦定理

【教学目的】

1.理解并掌握余弦定理及其证明；

2.能初步运用余弦定理解斜三角形；

3.理解用向量方法推导证明余弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性。

【教学重点】

余弦定理的证明和理解

【教学难点】

余弦定理的推导与证明

【教学过程】

一．复习与新课引入：

1．正弦定理及其推导、证明:                              

2．应用正弦定理可以解决：

①                                          

②                                      

3．两个三角形全等的判定定理有：                               

 [问题]对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？

[推导] 如图在中，、、的长分别为、、

∵

∴

即

同理可证 ，

二．新课：

1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

即 

2．余弦定理可以解决的问题

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

（2）已知三边，求三个角；

【余弦定理变式】

三、讲解范例：

例1在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C

解：∵  ＝0725，  ∴  A≈44°

∵  ＝08071，   ∴  C≈36°,

∴  B＝180°－(A＋C)≈100°

【变式1】：已知不变，结论换成判定的形状。

【变式2】：已知不变，结论换成求的面积。

例2在ΔABC中，①已知，，，求；

②已知，，求；

③已知，，,求,并判断三角形的形状。

例 3 ΔABC三个顶点坐标为(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求A

解法一：∵ |AB| ＝

|BC| ＝

|AC| ＝

=

∴ A≈84°

解法二：∵ ＝(–8，3)，＝(–2，–4)

∴ cosA＝=,∴ A≈84°

四、课堂练习：

1在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为              ；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为             
2在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为        

3在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A=           

参考答案： 1钝角三角形，直角三角形，锐角三角形2等腰三角形   3 120°

五、小结  余弦定理及其应用

六、课后作业：

课本10－11页：   2，3

【补充】1在△ABC中，证明：（a2－b2－c2）tanA＋（a2－b2＋c2）tanB＝0

2在△ABC中，已知sinB·sinC＝cos2，试判断此三角形的类型