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数学选修2-12.2 椭圆习题ppt课件
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这是一份数学选修2-12.2 椭圆习题ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了答案C，答案B等内容，欢迎下载使用。
1．知识与技能能解决与椭圆有关的基本问题．能处理与椭圆有关的综合问题．2．过程与方法掌握利用方程研究曲线性质的基本方法．3．情感态度与价值观价值观：进一步体会曲线与方程的对立关系，感受坐标法在研究几何图形中的作用．
[例1] (2010·湖南文，19)为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8 km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图)．考察范围为到A，B两点的距离之和不超过10km的区域．
(1)求考察区域边界曲线的方程；(2)如图所示，设线段P1P2是冰川的部分边界线(不考虑其他边界)，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2 km，以后每年移动的距离为前一年的2倍．问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？[分析] 本题考查椭圆的定义，过已知两点的直线方程，点到直线的距离公式，等比数列的求和公式等基础知识．
已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程．
[解析] 如图所示，连结AP，∵l垂直平分AC，∴|AP|＝|CP|，∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4，∴P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．∵2a＝4,2c＝|AB|＝2，∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.
[例2] 如图，直线y＝kx＋b与椭圆 ＋y2＝1，交于A、B两点，记ΔAOB的面积为S.(1)求在k＝0,0
如图所示，已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最小，并求出最小值．
[例3] P(1,1)为椭圆＝1内一定点，经过P引一弦，使此弦在P点被平分，求此弦所在的直线方程．[分析] 本题涉及弦的中点，属于中点弦问题，采用韦达定理或点差法求解．
[说明] 解法一利用了韦达定理，解法二利用了点差法，点差法的步骤是：设点(即设出弦的端点坐标)―→代入(即代入曲线方程)―→作差(即两式相减)．
(1)求椭圆的离心率；(2)设Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，求∠F1QF2的取值范围；(3)设Q是椭圆上一点，当QF2⊥AB时，延长 QF2与椭圆交于另一点P，若△F1PQ的面积为20，求此时椭圆的方程．
[分析] 要求离心率e，可由kAB＝kOM寻找a、b、c之间的关系，要求∠F1QF2的取值范围，可考虑在△F1QF2中，用余弦定理求解，要求椭圆的方程要利用△F1PQ的面积为20的条件，由QF2⊥AB，可求出直线PQ的斜率，进而求出|PQ|，利用点到直线的距离公式求出△F1PQ的高，问题就可解决．
[说明] 本题主要考查椭圆的定义、性质、直线方程、点到直线的距离、解三角形、不等式等知识，综合性较强．
[例5] 如图所示，在大西北的荒漠上，A，B两地相距2 km，现在准备在荒漠上围成一片以AB为一条对角线的平行四边形区域，建立农艺园，按照规划，围墙总长度为8 km.(1)农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条直水沟刚好过点A，且与AB成45°角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园内的水沟要重新设计改造，因此对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，则暂时不加固的部分有多长？
[分析] (1)求农艺园的最大面积实际就是求平行四边形ADBC的面积最大值，结合图形和椭圆的几何性质易知，当点C位于短轴端点时，△ACB的面积最大．(2)实质就是求弦长．
有一椭圆形溜冰场，长轴长100 m，短轴长60 m，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？
[分析] 因为椭圆和矩形都是中心对称图形，又矩形的各顶点都在椭圆上，所以它们有同一个对称中心．同时，椭圆分别关于长轴所在直线和短轴所在直线对称，所以该矩形也关于这两条直线都对称，因此以这两条直线为轴建立平面直角坐标系，可用椭圆的方程及矩形所满足的条件来解决问题．
[解析] 解法一：分别以椭圆的长轴、短轴各自所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上．因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形，所以矩形ABCD关于原点O及x轴、y轴都对称．已知椭圆的长轴长2a＝100 m，短轴长2b＝60 m，则椭圆的方程为
[例6] 已知2x2＋3y2＝6，求x2＋y2＋2x的最值．
[辨析] 产生错解的原因是没有考虑椭圆的范围，此题用椭圆的参数方程求解将更为准确．
[答案] 必要不充分[解析] 若F2为右焦点，则必有|MF1|＋|MF2|＝2a.若|MF1|＋|MF2|＝2a，则F2可以在以M为圆心，以2a－|MF1|为半径的圆上，故为必要不充分条件．
1．知识与技能能解决与椭圆有关的基本问题．能处理与椭圆有关的综合问题．2．过程与方法掌握利用方程研究曲线性质的基本方法．3．情感态度与价值观价值观：进一步体会曲线与方程的对立关系，感受坐标法在研究几何图形中的作用．
[例1] (2010·湖南文，19)为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8 km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图)．考察范围为到A，B两点的距离之和不超过10km的区域．
(1)求考察区域边界曲线的方程；(2)如图所示，设线段P1P2是冰川的部分边界线(不考虑其他边界)，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2 km，以后每年移动的距离为前一年的2倍．问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？[分析] 本题考查椭圆的定义，过已知两点的直线方程，点到直线的距离公式，等比数列的求和公式等基础知识．
已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程．
[解析] 如图所示，连结AP，∵l垂直平分AC，∴|AP|＝|CP|，∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4，∴P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．∵2a＝4,2c＝|AB|＝2，∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.
[例2] 如图，直线y＝kx＋b与椭圆 ＋y2＝1，交于A、B两点，记ΔAOB的面积为S.(1)求在k＝0,0
如图所示，已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最小，并求出最小值．
[例3] P(1,1)为椭圆＝1内一定点，经过P引一弦，使此弦在P点被平分，求此弦所在的直线方程．[分析] 本题涉及弦的中点，属于中点弦问题，采用韦达定理或点差法求解．
[说明] 解法一利用了韦达定理，解法二利用了点差法，点差法的步骤是：设点(即设出弦的端点坐标)―→代入(即代入曲线方程)―→作差(即两式相减)．
(1)求椭圆的离心率；(2)设Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，求∠F1QF2的取值范围；(3)设Q是椭圆上一点，当QF2⊥AB时，延长 QF2与椭圆交于另一点P，若△F1PQ的面积为20，求此时椭圆的方程．
[分析] 要求离心率e，可由kAB＝kOM寻找a、b、c之间的关系，要求∠F1QF2的取值范围，可考虑在△F1QF2中，用余弦定理求解，要求椭圆的方程要利用△F1PQ的面积为20的条件，由QF2⊥AB，可求出直线PQ的斜率，进而求出|PQ|，利用点到直线的距离公式求出△F1PQ的高，问题就可解决．
[说明] 本题主要考查椭圆的定义、性质、直线方程、点到直线的距离、解三角形、不等式等知识，综合性较强．
[例5] 如图所示，在大西北的荒漠上，A，B两地相距2 km，现在准备在荒漠上围成一片以AB为一条对角线的平行四边形区域，建立农艺园，按照规划，围墙总长度为8 km.(1)农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条直水沟刚好过点A，且与AB成45°角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园内的水沟要重新设计改造，因此对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，则暂时不加固的部分有多长？
[分析] (1)求农艺园的最大面积实际就是求平行四边形ADBC的面积最大值，结合图形和椭圆的几何性质易知，当点C位于短轴端点时，△ACB的面积最大．(2)实质就是求弦长．
有一椭圆形溜冰场，长轴长100 m，短轴长60 m，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？
[分析] 因为椭圆和矩形都是中心对称图形，又矩形的各顶点都在椭圆上，所以它们有同一个对称中心．同时，椭圆分别关于长轴所在直线和短轴所在直线对称，所以该矩形也关于这两条直线都对称，因此以这两条直线为轴建立平面直角坐标系，可用椭圆的方程及矩形所满足的条件来解决问题．
[解析] 解法一：分别以椭圆的长轴、短轴各自所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上．因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形，所以矩形ABCD关于原点O及x轴、y轴都对称．已知椭圆的长轴长2a＝100 m，短轴长2b＝60 m，则椭圆的方程为
[例6] 已知2x2＋3y2＝6，求x2＋y2＋2x的最值．
[辨析] 产生错解的原因是没有考虑椭圆的范围，此题用椭圆的参数方程求解将更为准确．
[答案] 必要不充分[解析] 若F2为右焦点，则必有|MF1|＋|MF2|＝2a.若|MF1|＋|MF2|＝2a，则F2可以在以M为圆心，以2a－|MF1|为半径的圆上，故为必要不充分条件．
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