2020-2021学年6.2 平面向量的运算学案设计

这是一份2020-2021学年6.2 平面向量的运算学案设计，共8页。
[重点] 向量减法法则及其几何意义．
[难点] 向量减法法则及其几何意义的应用．
要点整合夯基础
知识点一 相反向量
[填一填]
(1)我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0.
[答一答]
1．(1)相反向量就是方向相反的向量吗？
(2)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b吗？
提示：(1)不是．相反向量是方向相反且长度相等的向量．
(2)若|a|＝|b|，则a，b不一定共线，有可能a≠b且a≠－b.
知识点二 向量的减法及其几何意义
[填一填]
1．向量减法的定义
求两个向量差的运算叫做向量的减法．
我们定义，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
2．向量减法的几何意义
(1)三角形法则
如图，已知a、b，在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up15(→))＝a，eq \(OB,\s\up15(→))＝b，则eq \(BA,\s\up15(→))＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
(2)平行四边形法则
如图①，设向量eq \(AB,\s\up15(→))＝b，eq \(AC,\s\up15(→))＝a，则eq \(AD,\s\up15(→))＝－b，由向量减法的定义，知eq \(AE,\s\up15(→))＝a＋(－b)＝a－b.
又b＋eq \(BC,\s\up15(→))＝a，
所以eq \(BC,\s\up15(→))＝a－b.
如图②，理解向量加、减法的平行四边形法则：
在▱ABCD中，eq \(AB,\s\up15(→))＝a，eq \(AD,\s\up15(→))＝b，
则eq \(AC,\s\up15(→))＝a＋b，eq \(DB,\s\up15(→))＝a－b.
[答一答]
2．在代数运算中的移项法则，在向量中是否仍然成立？
提示：含有向量的等式称为向量等式，在向量等式的两边都加上或减去同一个向量，仍得到向量等式．移项法则对向量等式也是适用的．
3．类似于向量和的三角形不等式，向量差是否也存在三角形不等式呢？
提示：向量差也存在三角形不等式．对于任意a，b，不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|成立，并且当a，b同向且|a|≥|b|，|a|－|b|＝|a－b|.当a，b共线且反向时，|a－b|＝|a|＋|b|.
典例讲练破题型
类型一 向量减法的几何意义
[例1] 如下图，已知向量a、b、c，求作向量a＋c－b.
[分析] 先作差向量c－b，再把它平移，使其起点与a的终点重合，然后利用三角形法则可得向量a＋(c－b)．
[解] 如图，在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up15(→))＝a，eq \(OB,\s\up15(→))＝b，eq \(OC,\s\up15(→))＝c，连接BC，则eq \(BC,\s\up15(→))＝c－b，过点A作AD綉BC，则eq \(AD,\s\up15(→))＝eq \(BC,\s\up15(→)).∴eq \(OD,\s\up15(→))＝eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(AD,\s\up15(→))＝a＋c－b.
求作几个已知向量的和与差，一般先将这几个向量的起点平移到同一点O，然后两两组合，作出它们的和或差，依次累进就可得出所求作的向量.其中作图的先后次序可任意确定，作图过程不是唯一的.
[变式训练1] 如图，设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若eq \(AB,\s\up15(→))＝a，eq \(AD,\s\up15(→))＝b，eq \(OD,\s\up15(→))＝c，则eq \(OB,\s\up15(→))＝a－b＋c.
解析：由于eq \(OB,\s\up15(→))＝eq \(DB,\s\up15(→))－eq \(DO,\s\up15(→))，而eq \(DB,\s\up15(→))＝eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(AD,\s\up15(→))＝a－b，eq \(DO,\s\up15(→))＝－eq \(OD,\s\up15(→))＝－c，所以eq \(OB,\s\up15(→))＝a－b＋c.
类型二 向量减法的运算
[例2] 化简：(1)(eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(MB,\s\up15(→)))＋(－eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(MO,\s\up15(→)))；
(2)eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(AD,\s\up15(→))－eq \(DC,\s\up15(→)).
[分析] 解答本题可先去括号，再利用相反向量及加法交换律、结合律化简．
[解] (1)解法一：原式＝eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(MB,\s\up15(→))＋eq \(BO,\s\up15(→))＋eq \(OM,\s\up15(→))
＝(eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(BO,\s\up15(→)))＋(eq \(OM,\s\up15(→))＋eq \(MB,\s\up15(→)))＝eq \(AO,\s\up15(→))＋eq \(OB,\s\up15(→))＝eq \(AB,\s\up15(→)).
解法二：原式＝eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(MB,\s\up15(→))－eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(MO,\s\up15(→))
＝eq \(AB,\s\up15(→))＋(eq \(MB,\s\up15(→))－eq \(MO,\s\up15(→)))－eq \(OB,\s\up15(→))＝eq \(AB,\s\up15(→))＋(eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(OB,\s\up15(→)))
＝eq \(AB,\s\up15(→))＋0＝eq \(AB,\s\up15(→)).
(2)解法一：原式＝eq \(DB,\s\up15(→))－eq \(DC,\s\up15(→))＝eq \(CB,\s\up15(→)).
解法二：原式＝eq \(AB,\s\up15(→))－(eq \(AD,\s\up15(→))＋eq \(DC,\s\up15(→)))＝eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(AC,\s\up15(→))＝eq \(CB,\s\up15(→)).
满足下列两种形式时可以化简：
1首尾相接且为和；2起点相同且为差.,做题时要注意观察是否有这两种形式.同时要注意逆向应用，统一向量起点方法的应用.
[变式训练2] 化简：(eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(CD,\s\up15(→)))－(eq \(AC,\s\up15(→))－eq \(BD,\s\up15(→)))．
解：(eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(CD,\s\up15(→)))－(eq \(AC,\s\up15(→))－eq \(BD,\s\up15(→)))＝eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(CD,\s\up15(→))－eq \(AC,\s\up15(→))＋eq \(BD,\s\up15(→))＝eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(DC,\s\up15(→))＋eq \(CA,\s\up15(→))＋eq \(BD,\s\up15(→))＝eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(BD,\s\up15(→))＋eq \(DC,\s\up15(→))＋eq \(CA,\s\up15(→))＝eq \(AD,\s\up15(→))＋eq \(DA,\s\up15(→))＝0.
类型三 向量加减法的综合运用
[例3] 已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量eq \(OA,\s\up15(→))，eq \(OB,\s\up15(→))，eq \(OC,\s\up15(→))，eq \(OD,\s\up15(→))满足eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(OC,\s\up15(→))＝eq \(OB,\s\up15(→))＋eq \(OD,\s\up15(→))，则四边形ABCD的形状为________．
[分析] 向量a＋b，a－b的几何意义在证明、运算中具有重要的应用．对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用．基本思路是：先对向量条件化简、转化，再找(作)图形(三角形或平行四边形)，确定图形的形状，利用图形的几何性质求解．
[解析] ∵eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(OC,\s\up15(→))＝eq \(OB,\s\up15(→))＋eq \(OD,\s\up15(→))，
∴eq \(OA,\s\up15(→))－eq \(OD,\s\up15(→))＝eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(OC,\s\up15(→))，
∴eq \(DA,\s\up15(→))＝eq \(CB,\s\up15(→)).
∴|eq \(DA,\s\up15(→))|＝|eq \(CB,\s\up15(→))|，且DA∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
[答案] 平行四边形
1利用向量证明线段平行且相等从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可.
2根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键.
[变式训练3] 已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，eq \(CM,\s\up15(→))＝a，eq \(CA,\s\up15(→))＝b.求证：
(1)|a－b|＝|a|.
(2)|a＋(a－b)|＝|b|.
证明：在等腰直角三角形ABC中，由M是斜边AB的中点，得|eq \(CM,\s\up15(→))|＝|eq \(AM,\s\up15(→))|，|eq \(CA,\s\up15(→))|＝|eq \(CB,\s\up15(→))|.
(1)在△ACM中，eq \(AM,\s\up15(→))＝eq \(CM,\s\up15(→))－eq \(CA,\s\up15(→))＝a－b.
于是由|eq \(AM,\s\up15(→))|＝|eq \(CM,\s\up15(→))|，
得|a－b|＝|a|.
(2)在△MCB中，eq \(MB,\s\up15(→))＝eq \(AM,\s\up15(→))＝a－b，
所以eq \(CB,\s\up15(→))＝eq \(MB,\s\up15(→))－eq \(MC,\s\up15(→))＝a－b＋a＝a＋(a－b)．
从而由|eq \(CB,\s\up15(→))|＝|eq \(CA,\s\up15(→))|，
得|a＋(a－b)|＝|b|.
课堂达标练经典
1．若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法错误的是( C )
A．a∥b B．|a|＝|b|
C．|a|≠|b| D．b＝－a
解析：∵长度相等，方向相反的向量叫做相反向量，∴选项C错误．
2．如图所示，已知六边形ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中eq \(OA,\s\up15(→))＝a，eq \(OB,\s\up15(→))＝b，eq \(OC,\s\up15(→))＝c，则eq \(EF,\s\up15(→))等于( D )
A．a＋b B．b－a
C．c－b D．b－c
解析：由题图知eq \(EF,\s\up15(→))＝eq \(CB,\s\up15(→))＝eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(OC,\s\up15(→))＝b－c.
3．在△ABC中，D是BC的中点，设eq \(AB,\s\up15(→))＝c，eq \(AC,\s\up15(→))＝b，eq \(BD,\s\up15(→))＝a，eq \(AD,\s\up15(→))＝d，则d－a＝c，d＋a＝b.
解析：d－a＝eq \(AD,\s\up15(→))－eq \(BD,\s\up15(→))＝eq \(AD,\s\up15(→))＋eq \(DB,\s\up15(→))＝eq \(AB,\s\up15(→))＝c，
d＋a＝eq \(AD,\s\up15(→))＋eq \(BD,\s\up15(→))＝eq \(AD,\s\up15(→))＋eq \(DC,\s\up15(→))＝eq \(AC,\s\up15(→))＝b.
4．四边形ABCD是边长为1的正方形，则|eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(AD,\s\up15(→))|＝eq \r(2).
解析：|eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(AD,\s\up15(→))|＝|eq \(DB,\s\up15(→))|＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2).
5．如图，已知eq \(OA,\s\up15(→))＝a，eq \(OB,\s\up15(→))＝b，eq \(OC,\s\up15(→))＝c，eq \(OD,\s\up15(→))＝d，eq \(OF,\s\up15(→))＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)eq \(AC,\s\up15(→))；(2)eq \(AD,\s\up15(→))；(3)eq \(AD,\s\up15(→))－eq \(AB,\s\up15(→))；
(4)eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(CF,\s\up15(→))；(5)eq \(BF,\s\up15(→))－eq \(BD,\s\up15(→)).
解：(1)eq \(AC,\s\up15(→))＝eq \(OC,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝c－a.
(2)eq \(AD,\s\up15(→))＝eq \(AO,\s\up15(→))＋eq \(OD,\s\up15(→))＝eq \(OD,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝d－a.
(3)eq \(AD,\s\up15(→))－eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(BD,\s\up15(→))＝eq \(OD,\s\up15(→))－eq \(OB,\s\up15(→))＝d－b.
(4)eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(CF,\s\up15(→))＝eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(OF,\s\up15(→))－eq \(OC,\s\up15(→))＝b－a＋f－c.
(5)eq \(BF,\s\up15(→))－eq \(BD,\s\up15(→))＝eq \(OF,\s\up15(→))－eq \(OB,\s\up15(→))－(eq \(OD,\s\up15(→))－eq \(OB,\s\up15(→)))＝eq \(OF,\s\up15(→))－eq \(OD,\s\up15(→))＝f－d.
——本课须掌握的三大问题
1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(BA,\s\up15(→))就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
3．以平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别表示向量eq \(AB,\s\up15(→))＝a，eq \(AD,\s\up15(→))＝b，则两条对角线表示的向量为eq \(AC,\s\up15(→))＝a＋b，eq \(BD,\s\up15(→))＝b－a，eq \(DB,\s\up15(→))＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．
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|a±b|与|a|，|b|的关系
开讲啦 (1)在公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相反且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝
|a＋b|；当a与b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|.
(2)在公式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相同且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝
|a－b|；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|.
[典例] 已知|eq \(AB,\s\up15(→))|＝6，|eq \(CD,\s\up15(→))|＝9，求|eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(CD,\s\up15(→))|的取值范围．
[分析] 本题利用不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，注意分析向量eq \(AB,\s\up15(→))和eq \(CD,\s\up15(→))的方向．
[解] ∵||eq \(AB,\s\up15(→))|－|eq \(CD,\s\up15(→))||≤|eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(CD,\s\up15(→))|≤|eq \(AB,\s\up15(→))|＋|eq \(CD,\s\up15(→))|，且|eq \(CD,\s\up15(→))|＝9，|eq \(AB,\s\up15(→))|＝6，∴3≤|eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(CD,\s\up15(→))|≤15.
当eq \(CD,\s\up15(→))与eq \(AB,\s\up15(→))同向时，|eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(CD,\s\up15(→))|＝3；
当eq \(CD,\s\up15(→))与eq \(AB,\s\up15(→))反向时，|eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(CD,\s\up15(→))|＝15.
∴|eq \(AB,\s\up15(→))－eq \(CD,\s\up15(→))|的取值范围为[3,15]．
[针对训练] 已知|a|＝6，|b|＝14，|c|＝3，求|a＋b＋c|的最大值和最小值．
解：根据三角形法则，可知||b|－|a||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，∴|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|＝23.
且当a，b，c同向时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|，此时|a＋b＋c|有最大值23.
又∵|a＋b＋c|≥||a＋c|－|b||，当a，c同向且与b异向时，
|a＋b＋c|最小，此时|a＋b＋c|有最小值5.
故|a＋b＋c|的最大值为23，最小值为5.