高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.1 随机抽样导学案

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[目标] 1.理解并掌握分层随机抽样，会用分层随机抽样从总体中抽取样本；2.记住分层随机抽样的特点和步骤；3.利用分层随机抽样的方法解决实际问题；4.了解获取数据的途径，并学会简单应用．
[重点] 用分层随机抽样抽取样本.
[难点] 抽样方法的联系与区别以及抽样方法的选择．
要点整合夯基础
知识点一 分层随机抽样的概念
[填一填]
1．定义
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
2．适用范围
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往采用分层随机抽样．
3．比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
[答一答]
1．分层随机抽样适合于什么样的总体？分层随机抽样有什么特点？
提示：当总体是由差异明显的几部分组成时，用分层随机抽样．分层随机抽样仍具有逐个抽取、等可能性等特点．
2．分层随机抽样有什么优点？
提示：分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在每个层中进行抽样时，又可灵活地采用简单随机抽样或其他抽样方法．
知识点二 分层随机抽样的步骤
[填一填]
1．根据已掌握的信息，将总体分成若干部分．
2．根据总体中的个体数N和样本量n计算出抽样比k＝eq \f(n,N).
3．根据抽样比k计算出各层中应抽取的个体数：eq \f(n,N)·Ni(其中Ni为第i层所包含的个体总数)．
4．按步骤3所确定的数在各层中随机抽取个体，并合在一起得到容量为n的样本．
[答一答]
3．分层随机抽样公平吗？
提示：公平．因为分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无关．
4．某全日制大学共有学生5 600人，其中专科生有1 300人，本科生有3 000人，研究生有1 300人，现采用分层随机抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本量为280，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取65人，150人，65人．
提示：抽样比是eq \f(280,5 600)＝eq \f(1,20)，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取1 300×eq \f(1,20)＝65(人)，3 000×eq \f(1,20)＝150(人)，1 300×eq \f(1,20)＝65(人).
典例讲练破题型
类型一 分层随机抽样的概念
[例1] (1) 下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～100分，12人低于90分，现从中抽取12人了解有关情况
C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行( )
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽取的个体数量相同
[分析] 当总体由差异明显的几部分组成时，该样本的抽取适合用分层随机抽样，结合题中的四个选项及分层随机抽样的特点可对(1)(2)作出判断．
[解析] (1)A中总体个体无明显差异且个数较少，不适合用分层随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层随机抽样．
(2)保证每个个体等可能地被抽取是简单随机抽样和分层随机抽样的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．
[答案] (1)B (2)C
1.使用分层随机抽样的前提：,分层随机抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小.
2.使用分层随机抽样应遵循的原则：
1将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
2分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.
[变式训练1] 某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( C )
A．抽签法 B．随机数法
C．分层随机抽样法 D．任何抽样法都可以
解析：由于被抽取的个体属性有明显的差异，因此宜采用分层随机抽样法．
类型二 分层随机抽样的设计
[例2] 某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．
[分析] eq \x(观察特征)→eq \x(确定抽样方法)→eq \x(求出比例)→eq \x(确定各层样本数)→eq \x(从各层中抽样)→eq \x(成样)
[解] 因机构改革关系到每个人的不同利益，故采用分层随机抽样方法较妥．
∵eq \f(20,100)＝eq \f(1,5)，∴eq \f(10,5)＝2，eq \f(70,5)＝14，eq \f(20,5)＝4.
∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．
因副处级以上干部与工人数都较少，将他们分别按1～10和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01，…，69编号，然后用随机数法抽取14人．这样便得到了一个容量为20的样本．
eq \a\vs4\al(分层随机抽样的特点,1适用于总体由差异明显的几部分组成的情况.,2更充分体现和反映了总体的情况.,3等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等.)
[变式训练2] 某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1 200辆，6 000辆和2 000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的数量为( B )
A．15,15,16
B．6,30,10
C．10,13,23
D．12,16,18
解析：三种型号的轿车共9 200辆，抽取样本为46辆，则按eq \f(46,9 200)＝eq \f(1,200)的比例抽样，所以依次应抽取1 200×eq \f(1,200)＝6(辆)，6 000×eq \f(1,200)＝30(辆)，2 000×eq \f(1,200)＝10(辆).
课堂达标练经典
1．下列实验中最适合用分层随机抽样法抽样的是( D )
A．从一箱3 000个零件中抽取5个入样
B．从一箱3 000个零件中抽取600个入样
C．从一箱30个零件中抽取5个入样
D．从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样
解析：D中总体有明显差异，故用分层随机抽样．
2．当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户，270户，180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层随机抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( A )
A．40 B．30
C．20 D．36
解析：抽样比为eq \f(90,360＋270＋180)＝eq \f(1,9)，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×eq \f(1,9)＝40，故选A.
3．一批灯泡400只，其中20 W、40 W、60 W的数目之比是431，现用分层随机抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为( A )
A．20,15,5 B．4,3,1
C．16,12,4 D．8,6,2
解析：三种灯泡依次抽取的个数为40×eq \f(4,8)＝20,40×eq \f(3,8)＝15,40×eq \f(1,8)＝5.故选A.
4．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人，为了解职工收入情况，决定采用分层随机抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是( D )
A．12,24,15,9 B．9,12,12,7
C．8,15,12,5 D．8,16,10,6
解析：抽样比例为eq \f(40,800)＝eq \f(1,20)，故各层中依次抽取的人数为160×eq \f(1,20)＝8(人)，320×eq \f(1,20)＝16(人)，200×eq \f(1,20)＝10(人)，120×eq \f(1,20)＝6(人)．故选D.
5．一家电脑生产厂家在某城市三个经销本厂产品的大商场调查，产品的销量占这三个大商场同类产品销量的40%.由此在广告中宣传，他们的产品在国内同类产品的销售量占40%.请你根据所学的统计知识，判断该宣传中的数据是否可靠：不可靠，理由是第一，所取样本量太小；第二，样本抽取缺乏代表性和广泛性．
解析：这是一道判断说理型题，它要求借助于统计知识，作出科学的判断， 同时运用统计原理给予准确的解释．因此，该电脑生产厂家凭借挑选某城市经销本产品情况，断然说他们的产品在国内同类产品的销量占40%，宣传中的数据是不可靠的，其理由有二：第一，所取样本量太小；第二，样本抽取缺乏代表性和广泛性．
——本课须掌握的三大问题
1．用分层随机抽样从个体为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会相等．
2．分层随机抽样是建立在简单随机抽样基础上的，由于它充分利用了已知信息，考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，因此它获得的样本更具代表性，在实用中更为广泛．
3．简单随机抽样是基础，分层随机抽样是补充和发展，二者相辅相成，对立统一．