人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算第2课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算第2课时导学案，共6页。
[重点] 会用向量数量积的公式解决相关问题．
[难点] 会用向量数量积的公式解决相关问题．
要点整合夯基础
知识点一 向量的数量积的运算律
[填一填]
已知向量a，b，c和实数λ，有：
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
[答一答]
1．对于向量a，b，c，等式(a·b)c＝(b·c)a一定成立吗？
提示：不一定成立．∵若(a·b)c≠0，其方向与c相同或相反，而(b·c)a≠0时，其方向与a相同或相反，而a与c的方向不一定相同，故该等式不一定成立．
2．若a·b＝a·c(a≠0)，则一定有b＝c吗？
提示：不一定．可能有 a⊥(b－c)成立．
知识点二 向量的数量积的综合应用
[填一填]
设a、b都是非零向量，它们的夹角是θ，则
(1)csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)；
(2)a⊥b⇔a·b＝0；
(3)|a|＝eq \r(a·a).
[答一答]
3．对于向量a，b，等式|a±b|＝eq \r(a±b2)＝eq \r(a2＋b2±2a·b)一定成立吗？
提示：成立.
典例讲练破题型
类型一 向量的数量积的运算律
[例1] 已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求：
(1)a·b；
(2)(a＋b)·(a－b)；
(3)(2a－b)·(a＋3b)．
[分析] 根据数量积、模、夹角的定义以及数量积的运算，逐一进行计算即可．
[解] (1)a·b＝|a|·|b|cs120°＝2×3×(－eq \f(1,2))＝－3.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34.
求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.
[变式训练1] 已知向量a与b的夹角为eq \f(3π,4)，且|a|＝eq \r(2)，|b|＝2，则a·(2a＋b)等于2.
解析：a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝4－2＝2.
类型二 向量的模
[例2] 已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，则|a－3b|＝________.
[分析] 利用模的公式和数量积的运算律进行求解．
[解析] 因为a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，
所以|a－3b|＝eq \r(a－3b2)＝eq \r(a2－6a·b＋9b2)
＝eq \r(12＋9×12)＝eq \r(10).
[答案] eq \r(10)
1要求几个向量线性运算后的模，可先求其平方，利用数量积的计算易解.
2已知两个向量线性运算后的模求某个向量的模，可把条件平方后化为所求目标的方程求解.
[变式训练2] 已知单位向量e1，e2的夹角为α，且csα＝eq \f(1,3)，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝3.
解析：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×csα＋4＝9，所以|a|＝3.
类型三 向量的夹角
[例3] 已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
[分析] 利用向量垂直的判定和数量积公式进行求解．
[解析] 设a，b夹角为θ，由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，所以csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－2a2,4|a|2)＝－eq \f(1,2)，所以θ＝eq \f(2π,3).
[答案] C
eq \a\vs4\al( 求两向量a，b的夹角，通常借助于公式csθ＝\f(a·b,|a||b|)计算.)
[变式训练3] 设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得
csθ＝eq \f(2te1＋7e2·e1＋te2,|2te1＋7e2||e1＋te2|)