高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算导学案及答案，共10页。
[目标] 1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；2.理解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计算．
[重点] 向量加法的三角形法则及平行四边形法则．
[难点] 向量加法的几何意义．
要点整合夯基础
知识点一 向量的加法
[填一填]
1．定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
2．三角形法则
前提：已知非零向量a，b.
作法与图示：
(1)在平面内任取任意一点A.
(2)作eq \(AB,\s\up15(→))＝a，eq \(BC,\s\up15(→))＝b，再作向量eq \(AC,\s\up15(→)).
(3)则向量eq \(AC,\s\up15(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(BC,\s\up15(→))＝eq \(AC,\s\up15(→)).这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
3．平行四边形法则
前提：已知不共线的向量a，b.
作法与图示：
(1)在平面内任取一点O.
(2)如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB.
(3)对角线eq \(OC,\s\up15(→))就是a与b的和，即a＋b＝eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(OB,\s\up15(→))＝eq \(OC,\s\up15(→)).这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
[答一答]
1．两向量和的三角形法则的实质是什么？能否推广到多个向量和的多边形法则？
提示：两向量和的三角形法则的实质是两向量“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即为两向量的和．可以推广到多个向量和的多边形法则，即eq \(A0A1,\s\up15(→))＋eq \(A1A2,\s\up15(→))＋eq \(A2A3,\s\up15(→))＋…＋An－1An＝eq \(A0An,\s\up15(→)).
2．向量加法的三角形法则和平行四边形法则之间有什么关系？它们各自的适用条件是什么？
提示：当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半，从某种意义上讲，三角形法则是平行四边形法则的简化．向量共线时，平行四边形法则不再适用．由于向量共线，因此也不能构成三角形，但由于三角形法则运用时要求“首尾相接”，这一点对共线向量仍然适用．
3．a，b处于什么位置时，
(1)|a＋b|＝|a|＋|b|；
(2)|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．
提示：(1)当a，b共线且同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；
(2)当a，b共线且反向时，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．
知识点二 向量加法的运算律
[填一填]
1．交换律：a＋b＝b＋a.
2．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
[答一答]
4．化简下列各式．
(1)eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(BC,\s\up15(→))＋eq \(CD,\s\up15(→))＝eq \(AD,\s\up15(→))；
(2)eq \(DB,\s\up15(→))＋eq \(CD,\s\up15(→))＋eq \(BC,\s\up15(→))＝0.
解析：(1)eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(BC,\s\up15(→))＋eq \(CD,\s\up15(→))＝eq \(AC,\s\up15(→))＋eq \(CD,\s\up15(→))＝eq \(AD,\s\up15(→)).
(2)eq \(DB,\s\up15(→))＋eq \(CD,\s\up15(→))＋eq \(BC,\s\up15(→))＝(eq \(DB,\s\up15(→))＋eq \(BC,\s\up15(→)))＋eq \(CD,\s\up15(→))＝eq \(DC,\s\up15(→))＋eq \(CD,\s\up15(→))＝0.
典例讲练破题型
类型一 向量的加法法则
[例1] 四边形ABCD是边长为1的正方形，设eq \(AB,\s\up15(→))＝a，eq \(BC,\s\up15(→))＝b，eq \(AC,\s\up15(→))＝c，求作向量a＋b＋c，并求|a＋b＋c|.
[分析] 利用折线法，平移向量c，使a、b、c首尾相接，即可得和向量．
[解] 如图，延长AC到E，使AC＝CE，
则eq \(CE,\s\up15(→))＝eq \(AC,\s\up15(→))，
∴a＋b＋c＝eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(BC,\s\up15(→))＋eq \(CE,\s\up15(→))＝eq \(AE,\s\up15(→)).
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴|eq \(AC,\s\up15(→))|＝eq \r(2)，
∴|eq \(AE,\s\up15(→))|＝2|eq \(AC,\s\up15(→))|＝2eq \r(2).
故|a＋b＋c|＝2eq \r(2).
求作两个向量的和，一般用三角形法则或平行四边形法则，求作三个或三个以上向量的和，常用“折线法”，即先平移向量，使这些向量首尾相接，再连接第一个向量的起点和最后一个向量的终点，即得其和向量.
[变式训练1] (1)如图①所示，求作向量和a＋b.
(2)如图②所示，求作向量和a＋b＋c.
解：(1)首先作向量eq \(OA,\s\up15(→))＝a，然后作向量eq \(AB,\s\up15(→))＝b，则向量eq \(OB,\s\up15(→))＝a＋b.如图③所示．
(2)方法一(三角形法则)：如图④所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq \(OA,\s\up15(→))＝a，再作向量eq \(AB,\s\up15(→))＝b，则得向量eq \(OB,\s\up15(→))＝a＋b，然后作向量eq \(BC,\s\up15(→))＝c，则向量eq \(OC,\s\up15(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
方法二(平行四边形法则)：如图⑤所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq \(OA,\s\up15(→))＝a，eq \(OB,\s\up15(→))＝b，eq \(OC,\s\up15(→))＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则eq \(OD,\s\up15(→))＝eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(OB,\s\up15(→))＝a＋b，再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则eq \(OE,\s\up15(→))＝eq \(OD,\s\up15(→))＋eq \(OC,\s\up15(→))＝a＋b＋c即为所求．
类型二 向量的加法运算
[例2] (1)化简：①eq \(BC,\s\up15(→))＋eq \(AB,\s\up15(→))；②eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(DF,\s\up15(→))＋eq \(CD,\s\up15(→))＋eq \(BC,\s\up15(→))＋eq \(FA,\s\up15(→)).
(2)如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
①eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(OE,\s\up15(→))；
②eq \(AO,\s\up15(→))＋eq \(AB,\s\up15(→))；
③eq \(AE,\s\up15(→))＋eq \(AB,\s\up15(→)).
[分析] 根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量的结合律，调整向量顺序相加．
[解] (1)①eq \(BC,\s\up15(→))＋eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(BC,\s\up15(→))＝eq \(AC,\s\up15(→))；
②eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(DF,\s\up15(→))＋eq \(CD,\s\up15(→))＋eq \(BC,\s\up15(→))＋eq \(FA,\s\up15(→))＝eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(BC,\s\up15(→))＋eq \(CD,\s\up15(→))＋eq \(DF,\s\up15(→))＋eq \(FA,\s\up15(→))＝eq \(AF,\s\up15(→))＋eq \(FA,\s\up15(→))＝0.
(2)①由题图知，四边形OAFE为平行四边形，
∴eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(OE,\s\up15(→))＝eq \(OF,\s\up15(→))；
②由题图知，四边形OABC为平行四边形，
∴eq \(AO,\s\up15(→))＋eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(AC,\s\up15(→))；
③由题图知，四边形AEDB为平行四边形，
∴eq \(AE,\s\up15(→))＋eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(AD,\s\up15(→)).
在向量的加法运算中，通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过加法的结合律调整向量相加的顺序，可以省去画图步骤，加快解题速度.
[变式训练2] 如图，设eq \(AB,\s\up15(→))＝a，eq \(DA,\s\up15(→))＝b，eq \(BC,\s\up15(→))＝c，则eq \(DC,\s\up15(→))等于( C )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
类型三 向量加法的应用
命题视角1：向量在平面几何中的应用
[例3] 用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
[分析] 首先引入向量，再利用向量的关系进行证明．
[证明] 如图，根据向量加法的三角形法则有eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(AO,\s\up15(→))＋eq \(OB,\s\up15(→))，eq \(DC,\s\up15(→))＝eq \(DO,\s\up15(→))＋eq \(OC,\s\up15(→)).
又∵eq \(AO,\s\up15(→))＝eq \(OC,\s\up15(→))，eq \(DO,\s\up15(→))＝eq \(OB,\s\up15(→))，
∴eq \(AO,\s\up15(→))＋eq \(OB,\s\up15(→))＝eq \(DO,\s\up15(→))＋eq \(OC,\s\up15(→)).
∴eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(DC,\s\up15(→)).
∴AB∥DC且AB＝DC，即AB与DC平行且相等．
∴四边形ABCD是平行四边形．
要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等.根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应的向量相等即可.此问题是纯文字叙述的问题，首先应转化为符号语言描述.
[变式训练3] 如图，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知eq \(AB,\s\up15(→))＝a，eq \(AD,\s\up15(→))＝b，试用a，b表示eq \(BC,\s\up15(→))和eq \(MN,\s\up15(→)).
解：连接CN，∵N是AB的中点，AB＝2CD，∴AN綉DC，
∴四边形ANCD是平行四边形，eq \(CN,\s\up15(→))＝－eq \(AD,\s\up15(→))＝－b.
又eq \(CN,\s\up15(→))＋eq \(NB,\s\up15(→))＋eq \(BC,\s\up15(→))＝0，
∴eq \(BC,\s\up15(→))＝－eq \(NB,\s\up15(→))－eq \(CN,\s\up15(→))＝－eq \f(1,2)a＋b.
eq \(MN,\s\up15(→))＝eq \(CN,\s\up15(→))－eq \(CM,\s\up15(→))＝eq \(CN,\s\up15(→))＋eq \f(1,2)eq \(AN,\s\up15(→))＝eq \f(1,4)a－b.
命题视角2：向量加法的实际应用
[例4] 在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
[分析] 解答本题首先正确画出方位图，再根据图形借助于向量求解．
[解] 如图所示，设eq \(AB,\s\up15(→))，eq \(BC,\s\up15(→))分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km.则飞机飞行的路程指的是|eq \(AB,\s\up15(→))|＋|eq \(BC,\s\up15(→))|；两次飞行的位移的和指的是eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(BC,\s\up15(→))＝eq \(AC,\s\up15(→)).
依题意，有|eq \(AB,\s\up15(→))|＋|eq \(BC,\s\up15(→))|＝800＋800＝1 600(km)．
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.
所以|eq \(AC,\s\up15(→))|＝eq \r(\a\vs4\al(|\(AB,\s\up15(→))|2＋|\(BC,\s\up15(→))|2))
＝eq \r(8002＋8002)＝800eq \r(2)(km)．
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800eq \r(2) km.
向量应用题要首先画出图形.解决的步骤是：1将应用问题中的量抽象成向量；2化归为向量问题，进行向量运算；3将向量问题还原为实际问题.
[变式训练4] 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)
解：如图所示，设eq \(CE,\s\up15(→))，eq \(CF,\s\up15(→))分别表示A，B所受的力，10 N的重力用eq \(CG,\s\up15(→))表示，则eq \(CE,\s\up15(→))＋eq \(CF,\s\up15(→))＝eq \(CG,\s\up15(→)).
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°.
所以|eq \(CE,\s\up15(→))|＝|eq \(CG,\s\up15(→))|·cs30°＝10×eq \f(\r(3),2)＝5eq \r(3)，
|eq \(CF,\s\up15(→))|＝|eq \(CG,\s\up15(→))|cs60°＝10×eq \f(1,2)＝5.
所以A处所受的力为5eq \r(3) N，B处所受的力为5 N.
课堂达标练经典
1．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( C )
A.eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(DC,\s\up15(→))
B.eq \(AD,\s\up15(→))＋eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(AC,\s\up15(→))
C.eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(BD,\s\up15(→))＋eq \(AD,\s\up15(→))
D.eq \(AD,\s\up15(→))＋eq \(CB,\s\up15(→))＝0
解析：因为eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(AD,\s\up15(→))＋eq \(DB,\s\up15(→))≠eq \(BD,\s\up15(→))＋eq \(AD,\s\up15(→))，所以C错误．
2．下列等式不成立的是( C )
A．0＋a＝a
B．a＋b＝b＋a
C.eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(BA,\s\up15(→))＝2eq \(BA,\s\up15(→))
D.eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(BC,\s\up15(→))＝eq \(AC,\s\up15(→))
解析：对于C，∵eq \(AB,\s\up15(→))与eq \(BA,\s\up15(→))方向相反，∴eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(BA,\s\up15(→))＝0.
3．已知P为△ABC所在平面内一点，当eq \(PA,\s\up15(→))＋eq \(PB,\s\up15(→))＝eq \(PC,\s\up15(→))成立时，点P位于( D )
A．△ABC的AB边上
B．△ABC的BC边上
C．△ABC的内部
D．△ABC的外部
解析：如图，eq \(PA,\s\up15(→))＋eq \(PB,\s\up15(→))＝eq \(PC,\s\up15(→))，则P在△ABC的外部．
4.eq \(PB,\s\up15(→))＋eq \(OP,\s\up15(→))＋eq \(BO,\s\up15(→))＝0.
解析：eq \(PB,\s\up15(→))＋eq \(OP,\s\up15(→))＋eq \(BO,\s\up15(→))＝(eq \(OP,\s\up15(→))＋eq \(PB,\s\up15(→)))＋eq \(BO,\s\up15(→))＝eq \(OB,\s\up15(→))＋eq \(BO,\s\up15(→))＝0.
5．如图，在△ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列三式：
(1)eq \(BC,\s\up15(→))＋eq \(CE,\s\up15(→))＋eq \(EA,\s\up15(→))；
(2)eq \(OE,\s\up15(→))＋eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(EA,\s\up15(→))；
(3)eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(FE,\s\up15(→))＋eq \(DC,\s\up15(→)).
解：(1)eq \(BC,\s\up15(→))＋eq \(CE,\s\up15(→))＋eq \(EA,\s\up15(→))＝eq \(BE,\s\up15(→))＋eq \(EA,\s\up15(→))＝eq \(BA,\s\up15(→)).
(2)eq \(OE,\s\up15(→))＋eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(EA,\s\up15(→))＝(eq \(OE,\s\up15(→))＋eq \(EA,\s\up15(→)))＋eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(OB,\s\up15(→)).
(3)eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(FE,\s\up15(→))＋eq \(DC,\s\up15(→))＝eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(BD,\s\up15(→))＋eq \(DC,\s\up15(→))＝eq \(AD,\s\up15(→))＋eq \(DC,\s\up15(→))＝eq \(AC,\s\up15(→)).
——本课须掌握的三大问题
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
3．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．