高中人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算第1课时学案

这是一份高中人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算第1课时学案，共7页。
[目标] 1.理解两个向量夹角的定义，两向量垂直的定义；2.知道向量的投影向量；3.记住数量积的几个重要性质．
[重点] 向量夹角，数量积的含义及公式．
[难点] 向量夹角，数量积的重要性质．
要点整合夯基础
知识点一 向量的夹角
[填一填]
(1)已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up15(→))＝a，eq \(OB,\s\up15(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)向量夹角θ的取值范围是0≤θ≤π；当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．
(3)如果向量a与b的夹角是eq \f(π,2)，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
[答一答]
1．零向量与向量a的夹角是多少呢？
提示：向量的夹角是针对非零向量定义的，零向量与向量a的夹角没有意义．
2．等边三角形ABC中，向量eq \(AB,\s\up15(→))与eq \(BC,\s\up15(→))的夹角是60°吗？
提示：不是，求两个向量的夹角时，两个向量的起点必须相同，所以等边三角形ABC中，向量eq \(AB,\s\up15(→))与eq \(BC,\s\up15(→))的夹角是120°而不是60°.
知识点二 向量数量积的定义
[填一填]
(1)已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|csθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|csθ.
(2)零向量与任一向量的数量积为0.
[答一答]
3．向量的数量积与数乘向量的区别是什么？
提示：向量的数量积a·b是一个实数，数乘向量λa仍是一个向量．
知识点三 投影向量
[填一填]
如图(1)，设a，b是两个非零向量，eq \(AB,\s\up15(→))＝a，eq \(CD,\s\up15(→))＝b，我们考虑如下的变换：过eq \(AB,\s\up15(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up15(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up15(→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq \(A1B1,\s\up15(→))叫做向量a在向量b上的投影向量；
如图(2)，我们可以在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up15(→))＝a，eq \(ON,\s\up15(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \(OM1,\s\up15(→))就是向量a在向量b上的投影向量．
[答一答]
4．如图(2)，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么eq \(OM1,\s\up15(→))与e，a，θ之间有怎样的关系？
提示：对于任意的θ∈[0，π]，都有eq \(OM1,\s\up15(→))＝|a|csθe.
知识点四 数量积的几个性质
[填一填]
设a、b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|csθ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)|a·b|≤|a||b|.
[答一答]
5．a·b＝0时，a＝0或b＝0吗？
提示：不一定，当a⊥b时，也有a·b＝0.
典例讲练破题型
类型一 向量的夹角问题
[例1] 在△ABC中，AB＝eq \r(3)，BC＝1，AC＝2，D是AC的中点．求：
(1)eq \(AD,\s\up15(→))与eq \(BD,\s\up15(→))的夹角大小；
(2)eq \(DC,\s\up15(→))与eq \(BD,\s\up15(→))的夹角大小．
[分析] 由勾股定理可知题中三角形为直角三角形，然后结合直角三角形相关知识和向量夹角知识解答本题．
[解] (1)如图所示，在△ABC中，AB＝eq \r(3)，BC＝1，AC＝2，
∴AB2＋BC2＝(eq \r(3))2＋12＝22＝AC2，
∴△ABC为直角三角形．
∴tanA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，∴∠A＝30°.
∵D为AC的中点，
∴∠ABD＝∠A＝30°，eq \(AD,\s\up15(→))＝eq \(DC,\s\up15(→)).
在△ABD中，∠BDA＝180°－∠A－∠ABD＝180°－30°－30°＝120°.
∴eq \(AD,\s\up15(→))与eq \(BD,\s\up15(→))的夹角为120°.
(2)∵eq \(AD,\s\up15(→))＝eq \(DC,\s\up15(→))，
∴eq \(DC,\s\up15(→))与eq \(BD,\s\up15(→))的夹角也为120°.
求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
[变式训练1] 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β.求α＋β.
解：如图，作eq \(OA,\s\up15(→))＝a，eq \(OB,\s\up15(→))＝b，且∠AOB＝60°，以OA、OB为邻边作▱OACB，
则eq \(OC,\s\up15(→))＝a＋b，eq \(BA,\s\up15(→))＝eq \(OA,\s\up15(→))－eq \(OB,\s\up15(→))＝a－b，
eq \(BC,\s\up15(→))＝eq \(OA,\s\up15(→))＝a.
因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形，
所以∠OAB＝60°＝∠ABC，
即a－b与a的夹角β＝60°.
因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形，
所以OC⊥AB.
所以∠COA＝90°－60°＝30°，
即a＋b与a的夹角α＝30°，
∴α＋β＝90°.
类型二 向量数量积的运算
[例2] 已知|a|＝2，|b|＝3，当：(1)a与b的夹角θ为60°；(2)a⊥b；(3)a∥b时，分别求a·b.
[分析] 由于已知|a|＝2，|b|＝3，因此要求a·b的关键是通过条件得出a与b的夹角，然后代入数量积的计算式求得．
[解] (1)当a与b的夹角θ为60°时，
a·b＝|a||b|csθ＝2×3×cs60°＝3.
(2)当a⊥b，即a与b的夹角θ为90°时，
a·b＝|a||b|csθ＝2×3×cs90°＝0.
(3)当a∥b，即a与b的夹角θ＝0°或θ＝180°，
若θ＝0°，则a·b＝|a||b|csθ＝2×3×cs0°＝6；
若θ＝180°，则a·b＝|a||b|csθ＝2×3×cs180°＝－6.
已知|a|，|b|求a·b时，需先确定两向量的夹角θ，再利用数量积的定义求解.本题中注意a∥b时，要分θ＝0°和θ＝180°两种情况讨论.
[变式训练2] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则eq \(AB,\s\up15(→))·eq \(AC,\s\up15(→))＝( D )
A．－16 B．－8
C．8 D．16
解析：设∠CAB＝θ，所以AB＝eq \f(4,csθ)，eq \(AB,\s\up15(→))·eq \(AC,\s\up15(→))＝|eq \(AB,\s\up15(→))||eq \(AC,\s\up15(→))|·csθ＝eq \f(4,csθ)×4csθ＝16.
类型三 向量的投影
[例3] 设非零向量a和b，它们的夹角为θ.
(1)若|a|＝5，θ＝150°，求a与b方向上的投影；
(2)若a·b＝9，|a|＝6，求b在a方向上的投影．
[解] (1)|a|·csθ＝5×cs150°＝5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝－eq \f(5\r(3),2).
∴a在b方向上的投影为－eq \f(5\r(3),2).
(2)eq \f(a·b,|a|)＝eq \f(9,6)＝eq \f(3,2).
∴b在a方向上的投影为eq \f(3,2).
a在b的方向上的投影也可以写成eq \f(a·b,|b|)，投影是一个数量，可正可负也可为0，它的符号取决于角θ的范围.
[变式训练3] 已知向量a，b，其中|a|＝1，|a－2b|＝4，|a＋2b|＝2，则a在b的方向上的投影为( A )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
解析：|a－2b|＝4，即(a－2b)2＝16，
从而得a2－4a·b＋4b2＝16，
∴－4a·b＋4|b|2＝15，①
|a＋2b|＝2，即(a＋2b)2＝4，
从而得a2＋4a·b＋4b2＝4，
∴4a·b＋4|b|2＝3，②
联立①②解得|b|＝eq \f(3,2)，a·b＝－eq \f(3,2)，
∴a在b的方向上的投影为eq \f(a·b,|b|)＝eq \f(－\f(3,2),\f(3,2))＝－1.
课堂达标练经典
1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝( B )
A．－3eq \r(2) B．－6eq \r(2)
C．6eq \r(2) D．12
解析：a·b＝|a||b|cs135°＝3×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＝－6eq \r(2).
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是eq \f(3,2)，则a·b为( B )
A．3 B.eq \f(9,2)
C．2 D.eq \f(1,2)
解析：a·b＝|a||b|csθ＝|b|·|a|csθ＝3×eq \f(3,2)＝eq \f(9,2).故选B.
3．在锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法，正确的是( B )
A.eq \(AB,\s\up15(→))与eq \(BC,\s\up15(→))的夹角是锐角
B.eq \(AC,\s\up15(→))与eq \(AB,\s\up15(→))的夹角是锐角
C.eq \(AC,\s\up15(→))与eq \(BC,\s\up15(→))的夹角是钝角
D.eq \(AC,\s\up15(→))与eq \(CB,\s\up15(→))的夹角是锐角
解析：由向量夹角的定义可知，eq \(AC,\s\up15(→))与eq \(AB,\s\up15(→))的夹角为∠A，为锐角．
4．给出以下命题：
①a·0＝0；
②0a＝0；
③0－eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(BA,\s\up15(→))；
④|a·b|＝|a|·|b|；
⑤若a≠0，则对任一非零向量b有a·b≠0；
⑥a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；
⑦a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
其中正确命题的序号是③⑦.
解析：本题考查数量积的概念及向量运算．上述7个命题中只有③⑦正确，对于①，两个向量的数量积是一个实数，应有0·a＝0；对于②，应为0a＝0；对于④，由数量积定义，有|a·b|＝|a||b|csθ≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a·b|＝|a||b|；对于⑤，若非零向量a、b垂直，有a·b＝0；对于⑥，由a·b＝0可有a⊥b，即可以都非零．
5．已知向量a、b满足：a2＝9，a·b＝－12，求|b|的取值范围．
解：∵|a|2＝a2＝9，∴|a|＝3，
又a·b＝－12，∴|a·b|＝12.
∵|a·b|≤|a||b|，
∴12≤3|b|，∴|b|≥4，
故|b|的取值范围是[4，＋∞)．
——本课须掌握的三大问题
1．两向量夹角的实质和求解
(1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决．
(2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
2．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ