高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用学案及答案，共12页。
[重点] 应用正弦定理进行边角转化，解决三角形问题．
[难点] 正弦定理的理解及推导及能利用正、余弦定理解决综合问题．
要点整合夯基础
知识点一 正弦定理
[填一填]
[答一答]
1．在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？
提示：这个比值恰好等于该三角形外接圆的直径2R，即eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)＝2R，其中R是该三角形外接圆的半径．
2．在△ABC中，a＝4b，则eq \f(sinA,sinB)＝4.
解析：由正弦定理eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，得eq \f(sinA,sinB)＝eq \f(a,b)＝eq \f(4b,b)＝4.
知识点二 正弦定理的变形公式
[填一填]
①a＝eq \f(bsinA,sinB)＝eq \f(csinA,sinC)，b＝eq \f(csinB,sinC)＝eq \f(asinB,sinA)，c＝eq \f(asinC,sinA)＝eq \f(bsinC,sinB)；
②a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
③sinA＝eq \f(a,2R)，sinB＝eq \f(b,2R)，sinC＝eq \f(c,2R)；
④abc＝sinAsinBsinC.
其中，R为△ABC外接圆的半径．
这些常见的公式的变形形式应熟练掌握，在解决具体问题时，根据不同的题设条件灵活选用不同的变形公式．
[答一答]
3．正弦定理的变形公式的作用是什么？正弦定理的适用范围是什么？
提示：由正弦定理的变形公式可以实现三角形中边与角之间的相互转化，正弦定理对任意的三角形都成立．
4．在△ABC中，A>B与sinA>sinB的关系怎样？
提示：在△ABC中，若A>B，则a>b.由正弦定理得2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB.
若sinA>sinB，则2RsinA>2RsinB(R是△ABC的外接圆半径)．由正弦定理得a>b.
综上所述，在△ABC中，A>B与sinA>sinB等价．
知识点三 利用正弦定理判断三角形的解的个数
[填一填]
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：
由正弦定理得sinB＝eq \f(bsinA,a)，
①若eq \f(bsinA,a)>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解．
②若eq \f(bsinA,a)＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解．
③若eq \f(bsinA,a)