高中数学6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案

这是一份高中数学6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案，共8页。

[重点] 向量共线的坐标表示．
[难点] 向量共线的坐标表示的应用．
要点整合夯基础
知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式
[填一填]
(1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标；
(2)设向量a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)．
(3)中点坐标公式：若P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))
[答一答]
1．已知A(－5，－1)，B(3，－2)，则－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up15(→))的坐标为(－4，eq \f(1,2))．
解析：eq \(AB,\s\up15(→))＝(3，－2)－(－5－1)＝(8，－1)，
∴－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up15(→))＝(－4，eq \f(1,2))．
知识点二 两个向量共线的坐标表示
[填一填]
(1)向量a，b共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)向量共线的坐标表示的推导
①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)．
上式若用坐标表示，可写为a∥b⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2)，
即a∥b⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝λx2，,y1＝λy2))⇔x1y2－x2y1＝0.
②设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)＝0时，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
综上①②，向量共线的坐标表示为a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
[答一答]
2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，是否对于任意两向量都成立？还需注明b≠0吗？
提示：在向量共线定理中，a∥b⇔a＝λb(λ∈R)必需注明b≠0，而在“本问”中当b＝0时也成立，故不需注明b≠0.
3．当两个非零向量共线时，通过坐标如何判断它们是同向还是反向？
提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．
例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向．
典例讲练破题型
类型一 平面向量数乘运算的坐标表示
[例1] 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq \(CM,\s\up15(→))＝3eq \(CA,\s\up15(→))，eq \(CN,\s\up15(→))＝2eq \(CB,\s\up15(→))，求M，N及eq \(MN,\s\up15(→))的坐标．
[分析] 首先设出M、N的坐标，结合已知条件，分别建立关于M、N坐标的方程．从而求得M，N的坐标以及eq \(MN,\s\up15(→))的坐标．
[解] 由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，可得eq \(CA,\s\up15(→))＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1,8)，eq \(CB,\s\up15(→))＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)，所以eq \(CM,\s\up15(→))＝3eq \(CA,\s\up15(→))＝3(1,8)＝(3,24)，eq \(CN,\s\up15(→))＝2eq \(CB,\s\up15(→))＝2(6,3)＝(12,6)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则eq \(CM,\s\up15(→))＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋3＝3,y1＋4＝24))，
解得x1＝0，y1＝20；
eq \(CN,\s\up15(→))＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋3＝12,y2＋4＝6))，解得x2＝9，y2＝2，
所以M(0,20)，N(9,2)，
eq \(MN,\s\up15(→))＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．
1相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程组.
2进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来.一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标.求点P的坐标时，可以转化为求以坐标原点为起点，点P为终点的向量的坐标.
[变式训练1] 如图，在△ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求eq \(DF,\s\up15(→))的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
∴eq \(AB,\s\up15(→))＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)．
eq \(AC,\s\up15(→))＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．
∵D是BC的中点，
∴eq \(AD,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(AC,\s\up15(→)))＝eq \f(1,2)(－4－3，－3－5)
＝eq \f(1,2)(－7，－8)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)，－4)).
∵M，N分别为AB，AC的中点，∴F为AD的中点．
∴eq \(DF,\s\up15(→))＝－eq \(FD,\s\up15(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up15(→))＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)，－4))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,4)，2)).
类型二 两个向量共线的坐标表示
[例2] 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
[分析] 先计算出ka＋b与a－3b的坐标，然后利用向量共线的坐标表示即可求k，再根据符号确定方向．
[解] 因为a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
又(ka＋b)∥(a－3b)，
故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即k＝－eq \f(1,3).
这时ka＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(10,3)，\f(4,3)))，且a－3b与－eq \f(1,3)a＋b的对应坐标异号，故当k＝－eq \f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行，并且是反向的．
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．对条件的理解有两方面的含义：由x1y2－x2y1＝0，可判定a，b共线；反之，若a，b共线，则x1y2－x2y1＝0.
[变式训练2] (1)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量eq \(AB,\s\up15(→))同方向的单位向量为( A )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5)))
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，则λ＝eq \f(1,2).
解析：(1)由已知得eq \(AB,\s\up15(→))＝(3，－4)，
所以|eq \(AB,\s\up15(→))|＝5，
因此与eq \(AB,\s\up15(→))同方向的单位向量是eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))).
(2)2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，
所以4λ＝2，得λ＝eq \f(1,2).
类型三 三点共线问题
[例3] (1)已知eq \(OA,\s\up15(→))＝(3,4)，eq \(OB,\s\up15(→))＝(7,12)，eq \(OC,\s\up15(→))＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线；
(2)设向量eq \(OA,\s\up15(→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up15(→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up15(→))＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？
[分析] 由A、B、C三点共线可知，eq \(AB,\s\up15(→))、eq \(AC,\s\up15(→))、eq \(BC,\s\up15(→))中任两个共线，由坐标表示的共线条件解方程可求得k值．
[解] (1)证明：∵eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝(4,8)，eq \(AC,\s\up15(→))＝eq \(OC,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝(6,12)．∴4×12－8×6＝0，即eq \(AB,\s\up15(→))与eq \(AC,\s\up15(→))共线．
又∵eq \(AB,\s\up15(→))与eq \(AC,\s\up15(→))有公共点A，∴A，B，C三点共线．
(2)若A，B，C三点共线，则eq \(AB,\s\up15(→))，eq \(AC,\s\up15(→))共线，
∵eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝(4－k，－7)，eq \(AC,\s\up15(→))＝eq \(OC,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.
解得k＝－2或k＝11.
一般地，把三点共线问题转化成向量共线问题，而向量共线常用的判断方法有两种：一是直接用eq \(AB,\s\up15(→))＝λeq \(AC,\s\up15(→))；二是利用坐标运算.
[变式训练3] 如果向量eq \(AB,\s\up15(→))＝i－2j，eq \(BC,\s\up15(→))＝i＋mj，其中i、 j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线．
解：依题意知i＝(1,0)，j＝(0,1)，
则eq \(AB,\s\up15(→))＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，eq \(BC,\s\up15(→))＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．
∵eq \(AB,\s\up15(→))、eq \(BC,\s\up15(→))共线，
∴1×m－(－2)×1＝0，∴m＝－2.
即当m＝－2时，A、B、C三点共线．
类型四 利用向量共线解决几何问题
[例4] 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线AC与OB交点P的坐标．
[分析] 由直线AC与OB的交点为P知A、C、P三点共线，B、O、P三点共线，利用向量共线的坐标运算进行求解．
[解] 设点P(x，y)，则eq \(OP,\s\up15(→))＝(x，y)，eq \(OB,\s\up15(→))＝(4,4)，
∵P、B、O三点共线，∴eq \(OP,\s\up15(→))∥eq \(OB,\s\up15(→)).
∴4x－4y＝0.
又eq \(AP,\s\up15(→))＝eq \(OP,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)，
eq \(AC,\s\up15(→))＝eq \(OC,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
∵P、A、C三点共线，∴eq \(AP,\s\up15(→))∥eq \(AC,\s\up15(→))，
∴6(x－4)＋2y＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－4y＝0，,6x－4＋2y＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝3.))
∴点P的坐标为(3,3)．
1向量共线在几何中的应用可分为两个方面：①已知两向量共线，求点或向量的坐标；②证明或判断三点共线、直线平行.
2解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行.
[变式训练4] 如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，令|eq \(AD,\s\up15(→))|＝1，则|eq \(DC,\s\up15(→))|＝1，|eq \(AB,\s\up15(→))|＝2.
∵CE⊥AB，且AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形．
∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1，0)．
(1)∵eq \(ED,\s\up15(→))＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
eq \(BC,\s\up15(→))＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)．
∴eq \(ED,\s\up15(→))＝eq \(BC,\s\up15(→))，∴eq \(ED,\s\up15(→))∥eq \(BC,\s\up15(→))，即DE∥BC.
(2)如图，连接MB，MD，
∵M为EC的中点，∴M(0，eq \f(1,2))，
∴eq \(MD,\s\up15(→))＝(－1,1)－(0，eq \f(1,2))＝(－1，eq \f(1,2))，
eq \(MB,\s\up15(→))＝(1,0)－(0，eq \f(1,2))＝(1，－eq \f(1,2))．
∴eq \(MD,\s\up15(→))＝－eq \(MB,\s\up15(→))，∴eq \(MD,\s\up15(→))∥eq \(MB,\s\up15(→)).
又MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线.
课堂达标练经典
1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b＝( D )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
解析：eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b＝eq \f(1,2)(1,1)－eq \f(3,2)(1，－1)＝(－1,2)．
2．已知向量a＝(x,5)，b＝(5，x)，两向量方向相反，则x＝( A )
A．－5 B．5
C．－1 D．1
解析：当两向量对应坐标异号或同为零时方向相反．易知选A.
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1＋λ2＝1.
解析：由c＝λ1a＋λ2b，
得(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)．
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＋2λ2＝3，,2λ1＋3λ2＝4，))
解得λ1＝－1，λ2＝2，所以λ1＋λ2＝1.
4．已知向量a＝(eq \r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq \r(3))．若a－2b与c共线，则k＝1.
解析：a－2b＝(eq \r(3)，1)－(0，－2)＝(eq \r(3)，3)，
∵a－2b与c共线，
∴存在实数λ使λ(eq \r(3)，3)＝(k，eq \r(3))，
即(eq \r(3)λ，3λ)＝(k，eq \r(3))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)λ＝k，,3λ＝\r(3)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(\r(3),3)，,k＝1.))
5．已知向量eq \(OA,\s\up15(→))＝(3，－4)，eq \(OB,\s\up15(→))＝(6，－3)，eq \(OC,\s\up15(→))＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件．
解：eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，
eq \(AC,\s\up15(→))＝eq \(OC,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝(5－m，－3－m)－(3，－4)＝(2－m,1－m)．
由于点A，B，C能构成三角形，则eq \(AC,\s\up15(→))与eq \(AB,\s\up15(→))不共线，
所以3(1－m)－(2－m)≠0，解得m≠eq \f(1,2).
——本课须掌握的两大问题
1．对向量共线条件的理解
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，由x1y2－x2y1＝0成立，可判断a与b共线；反之，若a与b共线，它们的坐标应满足x1y2－x2y1＝0.
(2)在讨论向量共线时，规定零向量可以与任一向量共线，故在x2y2≠0的条件下，a与b共线的条件可化为eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，即两向量共线的条件为相应坐标成比例．
2．三点共线问题
(1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则A、B、C三点共线的条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0.
(2)若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法：
①直接利用上述条件，计算(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)是否为0.
②任取两点构成向量，计算出两向量如eq \(AB,\s\up15(→))，eq \(AC,\s\up15(→))，再通过两向量共线的条件进行判断．