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2021学年1.4生活中的优化问题举例集体备课课件ppt
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这是一份2021学年1.4生活中的优化问题举例集体备课课件ppt，共48页。PPT课件主要包含了端点的函数值，开区间，优化问题等内容，欢迎下载使用。
能利用导数知识解决实际生活中的最优化问题．
本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．
1．解决实际应用问题的基本步骤一般地，高考中的数学应用往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行：(1)阅读理解，认真审题．就是读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟实际背景中的数学本质，写出题中的数量关系，实现应用问题向数学问题转化．
(2)引入数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示相关的量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关的知识，将问题中的数量关系表示为一个数学关系式，实现问题的数学化，即建立数学模型．(3)运用数学知识和方法解决上述问题．(4)检验结果的实际意义并给出答案．
2．求最优化问题的步骤求实际问题中的最大(小)值，主要步骤如下：(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求出函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的取值大小，最大者为最大值，最小者为最小值．
1．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成，函数的最值要由 和 确定，当定义域是且函数只有一个时，这个 也就是它的 ．2．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为．通过前面的学习，我们知道 是求函数最大(小)值的有力工具，运用 可以解决一些生活中的 ．
[例1] 在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
[分析] 根据所给几何体的体积公式建模．[解析] 设箱高为xcm，则箱底边长为(60－2x)cm，则得箱子容积V是x的函数，V(x)＝(60－2x)2·x(00，当10
已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．[解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，
[例2] 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
[分析] 根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置．
[解析] 解法1：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，则∵BD＝40，AC＝50－x，令y′＝0，解得x＝30.当00.
因此函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．∴供水站建在A，D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．
[点评] 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解．对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择．
设有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价最小？[解析] 设圆柱体的高为h，底面半径为r，又设单位面积铁的造价为m，桶的总造价为y，则y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)．
答：当此铁桶的高与底面半径之比等于41时，总造价最小.
[分析] 根据题意，月收入＝月产量×单价＝px，月利润＝月收入－成本＝px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．[点评] 建立数学模型后，注意找准函数的定义域，这是此类题解答过程中极易出错的地方．
现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司获得最大收益．(注：收益＝销售额－投入，答案数据精确到0.01)
[解析] 设3百万元中技术改造投入为x百万元，广告费投入为(3－x)百万元，则广告投入带来的销售额增加值为y1＝－2(3－x)2＋14(3－x)(百万元)，技术改造投入带来的销售额增加值为
所以当该公司用于广告投入1.27百万元，用于技术改造投入1.73百万元时，公司将获得最大收益．
一、选择题1．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为( )[答案] A
2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )A．10 B．15 C．25 D．50[答案] C
3．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为( )A．0.5m B．1m C．0.8m D．1.5m[答案] A
二、填空题4．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为________．[答案] 1∶1
5．设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平方成正比，若银行以10%的年利率把总存款的90%贷出，同时能获得最大利润，需要支付给存户的年利率定为________．[答案] 6%[解析] 设支付给存户的年利率为x，银行获得的利润y是贷出后的收入与支付给存户利息的差，即y＝kx2×0.9×0.1－kx2·x＝0.09kx2－kx3(x>0)，y′＝0.18kx－3kx2，由y′＝0，得x＝0.06或x＝0(舍去)．当x∈(0,0.06)时，y′>0，当x∈(0.06，＋∞)时，y′<0，故当x＝0.06时，y取最大值．
三、解答题6．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？[解析] 设广告的高和宽分别为xcm，ycm，
能利用导数知识解决实际生活中的最优化问题．
本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．
1．解决实际应用问题的基本步骤一般地，高考中的数学应用往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行：(1)阅读理解，认真审题．就是读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟实际背景中的数学本质，写出题中的数量关系，实现应用问题向数学问题转化．
(2)引入数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示相关的量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关的知识，将问题中的数量关系表示为一个数学关系式，实现问题的数学化，即建立数学模型．(3)运用数学知识和方法解决上述问题．(4)检验结果的实际意义并给出答案．
2．求最优化问题的步骤求实际问题中的最大(小)值，主要步骤如下：(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求出函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的取值大小，最大者为最大值，最小者为最小值．
1．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成，函数的最值要由 和 确定，当定义域是且函数只有一个时，这个 也就是它的 ．2．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为．通过前面的学习，我们知道 是求函数最大(小)值的有力工具，运用 可以解决一些生活中的 ．
[例1] 在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
[分析] 根据所给几何体的体积公式建模．[解析] 设箱高为xcm，则箱底边长为(60－2x)cm，则得箱子容积V是x的函数，V(x)＝(60－2x)2·x(0
已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．[解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，
[例2] 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
[分析] 根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置．
[解析] 解法1：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，则∵BD＝40，AC＝50－x，令y′＝0，解得x＝30.当0
因此函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．∴供水站建在A，D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．
[点评] 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解．对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择．
设有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价最小？[解析] 设圆柱体的高为h，底面半径为r，又设单位面积铁的造价为m，桶的总造价为y，则y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)．
答：当此铁桶的高与底面半径之比等于41时，总造价最小.
[分析] 根据题意，月收入＝月产量×单价＝px，月利润＝月收入－成本＝px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．[点评] 建立数学模型后，注意找准函数的定义域，这是此类题解答过程中极易出错的地方．
现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司获得最大收益．(注：收益＝销售额－投入，答案数据精确到0.01)
[解析] 设3百万元中技术改造投入为x百万元，广告费投入为(3－x)百万元，则广告投入带来的销售额增加值为y1＝－2(3－x)2＋14(3－x)(百万元)，技术改造投入带来的销售额增加值为
所以当该公司用于广告投入1.27百万元，用于技术改造投入1.73百万元时，公司将获得最大收益．
一、选择题1．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为( )[答案] A
2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )A．10 B．15 C．25 D．50[答案] C
3．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为( )A．0.5m B．1m C．0.8m D．1.5m[答案] A
二、填空题4．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为________．[答案] 1∶1
5．设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平方成正比，若银行以10%的年利率把总存款的90%贷出，同时能获得最大利润，需要支付给存户的年利率定为________．[答案] 6%[解析] 设支付给存户的年利率为x，银行获得的利润y是贷出后的收入与支付给存户利息的差，即y＝kx2×0.9×0.1－kx2·x＝0.09kx2－kx3(x>0)，y′＝0.18kx－3kx2，由y′＝0，得x＝0.06或x＝0(舍去)．当x∈(0,0.06)时，y′>0，当x∈(0.06，＋∞)时，y′<0，故当x＝0.06时，y取最大值．
三、解答题6．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？[解析] 设广告的高和宽分别为xcm，ycm，
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